Physik A Teil 1: Mechanik - Physik-Institut - Universität Zürich

und analog für die beiden anderen Komponenten. Damit gilt für eine nichtkompressible
Flüssigkeit mit ρ =konst.
p + ρ 2 v2 + V ′ = konst. die Bernoulli 107 -Gleichung. (156)
12.3.3 Spezialfall der Bernoulli-Gleichung
Die Bernoulli-Gleichung (156) für ein Schwerefeld kann auch anschaulicher mit einer Energiebetrachtung
abgeleitet werden. Die von allen Kräften geleistete Arbeit eines Stromfadens
im Schwerefeld ist gleich der Zunahme der kinetischen Energie hier für eine reibungsfreie,
stationäre, laminare, inkompressible Flüssigkeit längs einer Stromröhre:
dW p = p 1 A 1 dx 1 − p 2 A 2 dx 2 = (p 1 − p 2 )dV
mit der Kontinuitätsgleichung A 1 dx 1 = A 2 dx 2 = dV
und der Arbeit der Schwerkraft dW G = ρg dV (h 1 − h 2 ) ist mit
dem Energiesatz (p 1 − p 2 )dV + ρg dV (h 1 − h 2 ) = ρ 2 (v2 2 − v 2 1) dV
⇒ p 1 + ρ 2 v2 1 + ρgh 1 = p 2 + ρ 2 v2 2 + ρgh 2 =konst.
dx 1 A
dx 2 A 2
1
p
p 2
1
h 1 h 2
Für diesen Spezialfall ist p + ρ 2 v2 + ρgh = konst. (157)
Interpretation:
1. Term: Statischer Druck, den ein mit der Strömung mitbewegter Beobachter mit einem
Manometer misst.
2. Term: Kinetische Energie der Volumeneinheit = Staudruck oder dynamische Druck.
3. Term: Potentielle Energie pro Volumeneinheit dτ z.B. der Schweredruck Gl. (157).
p t = p + ρ 2 v2 wird manchmal fälschlich als Gesamtdruck bezeichnet, dies trifft nur dann
zu, wenn für V ′ = ρgh = 0 der Stromfaden horizontal verläuft, es ist in diesem Fall
p + ρ 2 v2 = konst. = p tot [siehe Gl. (160)].
Zusammenstellung der Voraussetzungen für die Bernoulli-Gleichung (156)
1. Die Strömung ist reibungsfrei.
2. Die Strömung ist laminar, hat keine Wirbel.
3. Das Medium ist inkompressibel ρ =konst. (Gase mit geringer Geschwindigkeit)
4. ⃗v ist aus einem Geschwindigkeitpotential Φ ableitbar d.h. stationär.
5. ⃗ f ist aus einem Kraftdichtepotential V ′ ableitbar (konservative Kraft).
Diese fünf Voraussetzungen sind i.a. für die normalen Probleme nicht extremer Randbedingungen
der Hydodynamik erfüllt.
107 Daniel Bernoulli (29.1.1700 Groningen - 17.3.1782 Basel) Physiker und Mathematiker aus einer niederländischen
Gelehrtenfamilie, die seit 1622 in Basel ansässig ist [Jacob Bernoulli (1654-1705) Mathematiker,
Buch über Wahrscheinlichkeitsrechnung ’Ars conjectand’ behandelt das Gesetz der grossen Zahl,
Jacob II Bernoulli (1759-1789), Johann Bernoulli (1667-1748) Vater von D.B. Mathematiker Klärung
und Formulierung mechanischer Prinzipien] studierte erst Medizin mit einer Dr.Arbeit mit 21 Jahren
’Über die Luftmenge, welche beim Einatmen in die Lunge tritt’. Professur in Petersburg, 1732 Lehrstuhl
für Anatomie und Botanik in Basel, schrieb ’Hydrodynamika’ Anfänge der kinetischen Gastheorie, z.B.
Erhöhung der Gasbewegung und damit des Druckes durch Wärme, Problem des gebogenen Balkens, bestimmte
die Leistung des Herzens, 1750 Professur für Physik, die ihm mehr lag. Viele Preise u.a. Preis der
Pariser Akademie für ’Sur la perfection des clepsydres (Wasseruhr) ou des sabliers (Sanduhr) sur mer’.
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