Physik A Teil 1: Mechanik - Physik-Institut - Universität Zürich

dϕ
dr =
L ◦
√
µr 2 2
(E µ ◦ − V ) − ( ) die Differentialgleichung der Bahnkurve. (51)
2
L ◦
µr
Für eine Berechnung von r(ϕ) muss die Funktion V (r) bekannt sein, z.B. V (r) = −Γ Mm
r
.
6.3 Planetenbewegungen
Wir werden jetzt Gleichung (51) für den Fall einer idealisierten Planetenbewegung lösen:
M und m seien die Massen der Sonne und eines Planeten.
✎☞ Die Verteilung der Massen in beiden Körpern sei kugelsymmetrisch 51 .
✍✌ m
✻
★✥ ⃗r
Die reduzierte Masse ist µ = mM
m + M .
M Die Bewegung dieses speziellen Planeten soll nicht durch die Anwesenheit
✧✦anderer Planeten gestört werden 52 .
Mit dem Gravitationspotential V (r) = −Γ mM r
Gleichung (51):
dϕ
dr =
µr 2 √
2
µ
L ◦
(
E◦ + ΓmM
r
für die potentielle Energie wird die
) ( ) , Dgl. der Bahnkurve.
2
−
L◦
µr
Wir führen 1/r = x als neue Variable ein, so dass dr = −dx/x 2 gilt und erhalten
dϕ =
−L ◦ /µ
√
dx =
2E ◦
+ 2ΓmM x − L2 ◦x µ µ µ 2 2
−L ◦ /µ
√
− ( ) 2
L ◦
µ
x − ΓmM
L ◦
+
2E ◦
+ ( ) dx
2
ΓmM
µ L ◦
=
−L ◦ /µ
√
2E ◦
+ ( ) 2 √
ΓmM −(L◦x/µ−ΓmM/L ◦) 2
µ L ◦
+ 1
2E◦
µ +(ΓmM L◦ )2
wenn wir nochmals eine neue Variable einführen: u =
dx oder dϕ = −du √
1 − u
2 , (52)
L ◦
µ
x − ΓmM
L √ ◦
2E ◦
+ ( ) .
2
ΓmM
µ L ◦
Integration von Gl. (52) liefert ϕ − ϕ ◦ = arccosu oder wenn wir ϕ ◦ = 0 setzen
cos(ϕ − ϕ ◦ ) = cosϕ = u. (53)
Kehren wir in Gl. (53) wieder zur ursprünglichen Variablen r zurück, dann erhält man
L ◦
µr = cos ϕ √ √√√
2E ◦
µ + ( ΓmM
L ◦
) 2
+ ΓmM
L ◦
. Daraus kann r berechnet werden,
51 Abweichungen von einer exakten Kugelsymmetrie z.B. von der Sonne und Erde führen zu r, ϑ, ϕ
abhängigen Korrekturen (Quadrupol-Terme).
52 In vielen Fällen ist m ≪ M und man kann für die reduzierte Masse µ ≃ m setzen. Sind jedoch
beide Massen gleich, wie in einigen Doppelsternsystemen oder beim Positronium dem e − e + -Atom, dann
rotieren beide Massen um ihren gemeinsamen Schwerpunkt; es ist dann µ = m/2.
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