Physik A Teil 1: Mechanik - Physik-Institut - Universität Zürich

Ein homogener und isotroper Festkörper ist durch 2 elastische Konstanten
vollkommen in seinem elastischen Verhalten bestimmt.
Ist der Festkörper jedoch ein Einkristall, so ist er in seinem Verhalten nicht mehr isotrop,
und es werden mehr elastische Konstanten benötigt (3 für kubische und 21 für trikline
Kristalle).
Typische Werte elastischer Konstanten polykristalliner Körper
Material E[N/m 2 ] G[N/m 2 ] m K[N/m 2 ]
Al 7.0 · 10 10 2.6 · 10 10 0.34 7.3 · 10 10
Pb 1.6 · 10 10 0.6 · 10 10 0.44 4.2 · 10 10
Stahl 20.6 · 10 10 8.0 · 10 10 0.28 15.6 · 10 10
Quarzglas 7.5 · 10 10 3.2 · 10 10 0.17 3.8 · 10 10
Nylon 0.5 − 2.8 · 10 10
Starrer Körper ∞ ∞ 0.5 ∞
11.4 Zwei Beispiele zur Biegung und Torsion
In der Technik werden folgende, praktische Fragen gestellt: Mit welcher Krümmung bzw.
Kurvenverlauf biegt sich ein Balken oder Träger bei Belastung mit frei aufliegenden, einem
oder zwei eingespanten Enden? Wo tritt die maximale Belastung und damit ein Bruch
auf? Wie muss ein optimales Profil bei minimalem Gewicht aussehen?
11.4.1 Biegung eines Balkens
N 1 N 2
A(x)
x
z
F
Stauchung
n
Dehnung
Symmetrieachse
Ein homogener Balken mit der Länge l und dem Querschnitt q,
der beidseitig frei aufliegt, werde durch eine vertikale Kraft F beansprucht,
die in der Mitte des Balkens angreift. Vernachlässigt
man das Eigengewicht, so gilt im Gleichgewicht
N 1 + N 2 = F, F l 2 = N 2l, also N 1 = N 2 = F 2 .
z.B.
Der Balken soll vertikale Querschnitte besitzen, die eine
vertikale Symmetrieachse haben. Ferner sollen alle Deformationen
klein sein. Wir wollen die Spannungen und
die Form der Stabachse berechnen. Dazu müssen wir die
Hypothesen von Bernoulli-Navier machen:
a) Es existiert eine neutrale, d.h. spannungsfreie Faser n,
die senkrecht zu den entsprechenden Symmetrieachsen
steht.
b) Querschnitte, die im unbelasteten Zustand senkrecht zur neutralen Faser stehen, bleiben
im deformierten Zustand eben und senkrecht zur neutralen Faser 96 .
Bestimmung der Spannungen im Querschnitt A(x):
96
vorher
nachher
n
n
Diese Annahme steht im Widerspruch zur Biegungstheorie
und kann nur als Näherung betrachtet werden.
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