Physik A Teil 1: Mechanik - Physik-Institut - Universität Zürich

F
2
0
Man denkt sich den Balken an der Stelle x durchgeschnitten,
σ z A
wobei x ≤ l/2 sei. Um das Gleichgewicht nicht zu
τ x n stören, müssen die Spannungen in x zusammen mit den
äusseren Kräften die Gleichgewichtsbedingungen erfüllen.
z=0
Ferner muss die Spannungsverteilung in A(x) so sein, dass
x σ der Schnitt bei der Deformation eben bleibt 97 . Dies ist
der Fall, wenn τ(x,z) = konst., σ(x,z) = σ ◦ (x)z, mit den Gleichgewichtsbedingungen
Schnitt
Stabachse
z
h1
Stauchung
A(x)
n
dA
h2 Dehnung
für x < l/2
∑
∫
Fix = 0 ⇒ 0 =
∑
M◦i = 0 ⇒ Fx
2 = ∫
∑
Fiz = 0 ⇒ F 2 = ∫
A
A
A
∫
σ ◦ (x)zdA = σ ◦ (x)
σ ◦ (x)z 2 dA = σ ◦ (x)
τ dA = τA (148)
A
∫
A
zdA (149)
z 2 dA. (150)
Aus Gleichung (149) folgt ∫ A zdA = 0, d.h. die neutrale Faser geht durch den Schwerpunkt
des Schnittes. Setzt man I s = ∫ z 2 dA
A
und nennt I s das Flächenträgheitsmoment des Schnittes A(x), so folgt aus Gl. (150)
σ ◦ (x) = Fx
2I s
, also σ(x,z) = Fxz
2I s
für x ≤ l/2.
Die maximale Normalspannung im Schnitt A(x) tritt am oberen oder unteren Rand auf, je
nachdem ob h 1 grösser oder kleiner als h 2 ist mit σ max (x) = Fxh 1
2I s
oder
Fxh 2
2I s
.
Die maximale Spannung im Stab in der Stabmitte ist σ max,max = Flh 1
4I s
oder Flh 2
4I s
.
Bei wachsender Belastung wird der Stab in der Mitte durchbrechen, wenn σ max,max grösser
als die zulässige Spannung des Materials wird.
Form der Stabachse, d.h. der neutralen Faser: Ein Mass für die Biegung der Stabachse
im Schnitt A(x) ist der Krümmungsradius ρ(x). Sind A 1 und A 2 Querschnitte in
der Nachbarschaft von x, die im undeformierten Zustand parallel stehen und den Abstand
s haben, so schneiden sich deren Symmetrieachsen im Krümmungsmittelpunkt M
der Stabachse. Nach dem Strahlensatz gilt dann
97 Damit der Querschnitt nach der Biegung eben bleibt, müssen die Fasern proportional zum Abstand
von z = 0 gedehnt werden. Mit dem Hookschen Gesetz ist σ = Eε ∝ ∆l/l und damit muss σ(x,y)
proportional zu z mit z = 0 der neutralen Faser sein. Die Proportionalitätskonstante σ ◦ hat nicht die
Dimension von σ.
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