Physik A Teil 1: Mechanik - Physik-Institut - Universität Zürich

Das Problem hat nur einen Freiheitsgrad. Mit den Anfangsbedingungen
x s (0) = 0,v s (0) = 0 lautet die Lösung der Bewegungsgleichung [vgl. freier Fall]
x s (t) =
g sin α
2(1 + I s /Ma 2 ) t2 .
Aus der Gleichung (120) oder (121) ergibt sich für die Haftreibungskraft
1 d 2 (
)
x s
I s
a 2 dt = R = Mg sin α 1
I s
1 − = Mg sin α
2 1 + I s /Ma 2 I s + Ma 2.
Handelt es sich speziell um einen Vollzylinder, so ist I s = M a 2 /2, also
R = 1Mg sin α, wobei R ≤ µ 3 HMg cos α sein muss. Reines Rollen ist somit nur
dann möglich, wenn 1 3 Mg sin α ≤ µ HMg cos α, also tanα ≤ 3µ H .
Die Rollzeit T, während der sich die Höhe des Schwerpunkts um den Betrag h
ändert, ergibt sich aus h/ sin α = x s (t) zu
h = x s (T) sin α = g sin2 αT 2
2(1 + I s /Ma 2 ) , und T = 1
sin α√
2h
g
(
1 + I s
Ma 2 )
. (122)
Die Rollzeit ist somit länger als die entsprechende Gleitzeit für einen Massenpunkt,
welche aus Gl. (122) für I s = 0 folgt. Die Ursache für diesen Unterschied werden wir
mit der kinetischen Energie in Kapitel 9.7 diskutieren.
Gleich schwere und gleich grosse Zylinder mit verschiedenen Trägheitsmomenten
(z.B. Hohlzylinder T ′ und Vollzylinder T ′′ aus verschiedenen Materialien) haben
verschiedene Rollzeiten
√
T ′ ( ) )
= 1 + I′ s
/
(1 + I′′ s
. (123)
T ′′ Ma 2 Ma 2
Ähnliche Hohlzylinder, d.h. solche, deren innerer und äusserer Radius dasselbe
Verhältnis besitzen, haben die gleiche Rollzeit. Für einen Hohlzylinder gilt nämlich
( )
I s = M 2 (a2 1 + a 2 2) = Ma2 2
2
Einsetzen in Gl. (123) ergibt T ′ = T ′′ .
b) Rollen und Gleiten
1 + a2 1
a 2 2
Ist der Neigungswinkel α der schiefen Ebene genügend gross, so wird die durch die
Kraft Mg sin α − R erzeugte Beschleunigung d 2 x s /dt 2 so gross, dass die durch das
Drehmoment von R hervorgerufene Winkelbeschleunigung d 2 ϕ/dt 2 zu klein ist, um
die Rollbedingung zu erfüllen. Der Zylinder gleitet und beginnt sich dabei zu drehen.
Die Bewegung hat nun 2 Freiheitsgrade. Die Reibungskraft ist mit
R = µ G N = µ G Mg cos α bestimmt.
.
Aus Gl. (120) und (121) folgt
d 2 x s
dt 2 = g(sinα − µ G cos α),
105
d 2 ϕ
dt = µ GMga cosα
.
2 I s