Physik A Teil 1: Mechanik - Physik-Institut - Universität Zürich

vorkommenden realen Flüssigkeiten , deren Strömungen
beim Überschreiten einer kritischen Geschwindigkeit immer
turbulent werden, wenn ein Hindernis um- oder durchströmt
wird.
Im folgenden ist es das Ziel, für Flüssigkeiten und eingeschränkt
auch für Gase eine Bewegungsgleichung auf der
Basis des Newtonschen Prinzips aufzustellen.
12.3.1 Die Kontinuitätsgleichung für stationäre Strömungen
Es kann keine Materie erzeugt oder vernichtet werden 104 .
Es muss die in jedes Volumenelement hineinfliessende
Flüssigkeitsmenge auch wieder herausfliessen.
Pro Zeiteinheit strömt durch die Fläche ✻ z
dA die Flüssigkeitsmenge dm/dt = ρ·dA·v n , wenn
v
v n die Geschwindigkeitskomponente in der Normalenrichtung
zur Fläche dA steht und die Dichte
x (x)
ρ=konst. inkompressibel ist. Für ein Volumenelement
muss also gelten:
✏ ✏✶ (x,y,z)
y
✘ ✘✘
dx
✏✏✶
vy (y)
✻ v z(z + dz)
✏ ✏ v y(y + dy)
✏✏✶
dz
✟ ✟
dy
v z (z)
✲ x
✲
vx (x + dx)
dm ein /dt = ρ · dydz · v x (x,y,z) + ρ · dzdx · v y (x,y,z) + ρ · dxdy · v z (x,y,z) =
dm aus /dt = ρ · dydz v x (x + dx,y,z) + ρ · dzdx v y (x,y + dy,z) + ρ · dxdy v z (x,y,z + dz)
1
·
ρ dxdydz ⇒
div · ⃗v = ⃗ ∇ · ⃗v = ∂v x
∂x + ∂v y
∂y + ∂v z
∂z = 0
die Kontinuitätsgleichung
(154)
Die Kontinuitätsgleichung gilt auch für nichtstationäre Strömungen jedoch nur für
inkompressible Flüssigkeiten. Sie spielt in vielen Bereichen der Physik eine Rolle.
Betrachtet man z.B. eine Stromröhre , d.h. ein Rohr, dessen Wandungen von Stromlinien
gebildet wird und dessen Endflächen senkrecht zu den Stromlinien stehen, dann
muss, da seitlich keine Flüssigkeit in die Stromröhre eintritt, die durch dA e einlaufende
dA Menge pro Zeiteinheit gleich der bei dA a
a auslaufenden
Menge sein, also
dA e
→
v 2
→
v 1
ρdV e
dt
= ρv e dA e = ρv a dA a ⇒ v e
v a
= dA a
dA e
.
12.3.2 Die Bewegungsgleichung von Euler und Bernoulli †
✁ ✁✕
✓ ✓✼
✓ ✓
✓
✒
⃗v
✘✘ ✏ ✒
dτ ❅
✟
❅ ❅❘ dF
⃗
✒ ✚ ✚✚✚✚✚✚❃ ✟ ✟✟✟✟✯ ✏✏✶
Auf ein Volumenelement dτ in einem Stromfaden wirkt die Gesamtkraft
d ⃗ F. Sie setzt sich zusammen aus einer Volumenkraft
d ⃗ F τ = ⃗ fdτ, d.h. einer äusseren Kraft, die auf das Volumenelement
dτ wirkt, wie z.B. die Schwerkraft ρgdτ oder die Zentrifugalkraft
und als zweites die Oberflächenkraft als Resultierende
der Kräfte d ⃗ F ◦ aus Druck·Fläche.
Für die x-Komponente gilt mit dA = dy · dz
104 Zur Erzeugung von Materie z.B. eines Protons muss mindestens infolge der allgemeinen Energieerhaltung
die Ruhmasse des Protons als Energie, d.h. E > m Proton zur Verfügung stehen und gleichzeitig
die Baryonenzahl erhalten bleiben. Dies ist ein Problem der Teilchenphysik.
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