Physik A Teil 1: Mechanik - Physik-Institut - Universität Zürich

In einem konservativen Kraftfeld bleibt die gesamte mechanische Energie,
d.h. die Summe von potentieller und kinetischer Energie erhalten.
In differentieller Form lautet der Erhaltungssatz dE tot = dT + dV = 0
Der Energieerhaltungssatz gilt auch dann noch, wenn bei einer Bewegung Führungskräfte
vorkommen, die senkrecht zur Geschwindigkeit (also Normalkräfte) stehen und
folglich keine Arbeit leisten. Treten dagegen Reibungskräfte auf, deren Arbeit ja vom
Wege abhängt, so gilt der Erhaltungssatz in der obigen einfachen Form nicht mehr (z.B.
wenn mechanische Energie irreversibel in Wärmeenergie umgewandelt wird).
Ebenfalls kann der Energieerhaltungssatz in dieser einfachen Form nicht angewandt
werden, wenn das Potential von der Zeit abhängt, wenn also V = V (x,y,z,t). Dann wird
dV = ∂V ∂V ∂V ∂V
dx + dy + dz +
∂x ∂y ∂z ∂t dt = −⃗ F · d⃗r + ∂V ∂V
dt = −dT +
∂t ∂t dt
oder dE = dV + dT = ∂V
∂t dt ≠ 0 für eine nicht konservative Kraft.
Der Erhaltungssatz stellt ein erstes Integral der Bewegungsgleichung dar, da er nicht
mehr die Beschleunigung, sondern nur noch die Geschwindigkeiten enthält. Dagegen
enthält er als skalare Gleichung keine Information über die Richtung einer Bewegung. In
vielen Fällen lassen sich mechanische Probleme mit dem Energieerhaltungssatz einfacher
als mit den Newtonschen Gleichungen lösen.
Obgleich der Erhaltungssatz der mechanischen Energie aus den Newtonschen Prinzipien
hergeleitet wurde, stellt er eine andere Betrachtungsweise physikalischer Prozesse
dar, so dass er einem neuen Werkzeug gleichkommt. Insbesondere ist er ein Sonderfall des
viel allgemeineren Erhaltungssatzes aller Energien, der unabhängig von den Newtonschen
Prinzipien gilt (vgl. Kapitel 10).
4.7 Beispiele zum Energieerhaltungssatz
4.7.1 Freier Fall eines Massenpunktes im Vakuum
✻x V (x)
1m
❄⃗v(x)
0 V (0) = 0
Setzt man V (x = 0) = 0, so ist die potentielle Energie V (x) = mg x
und die Gesamtenergie
E = T + V = m 2 v2 + mg x = m 2
( ) 2
dx
+ mg x. (34)
dt
Da E konstant ist, wird es aus den Anfangsbedingungen x ◦ und v ◦ für
den Zeitpunkt t = 0 bestimmt: E = m 2 v2 ◦ + mgx ◦ .
√ dx
2E
∫
Aus Gl. (34) folgt v =
∣ dt ∣ = m − 2gx oder t =
√ 2E
m
dx
+ C.
− 2gx.
Mit der Substitution z = 2E/m − 2gx und dz = −2g dx erhält man für das Integral
− 1 ∫ dz
√ = − 1
2g z 2g 2√ z = −
g√ 1 √
2E 2E
m − 2gx. Also wird t = −1 g m
− 2gx + C.
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