Elektrostatik - Universität Zürich

Physik für Studierende der Biologie und Chemie
Universität Zürich, HS 2009, U. Straumann Version 11. März 2010
Inhaltsverzeichnis
5 Elektrodynamik 5.1
5.1 Eine gute physikalische Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1
5.2 Elektrostatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2
5.2.1 Die elektrische Ladung und das Gesetz von Coulomb . . . . . . . . . . . . 5.2
5.2.2 Das elektrische Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3
5.2.3 Der elektrische Dipol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3
5.2.4 Das elektrostatische Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4
5.2.5 Der Gauss’sche Satz der Elektrostatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5
5.2.6 Elektrische Felder und Potentiale spezieller Ladungsverteilungen . . . . . 5.7
5.2.7 Leiter in elektrischen Feldern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.10
5.2.8 Isolatoren in elektrischen Feldern, Polarisation . . . . . . . . . . . . . . . 5.13
Inhaltsverzeichnis
5 Elektrodynamik
5.1 Eine gute physikalische Theorie
Die Elektrodynamik stellt eine äusserst erfolgreiche physikalische Theorie dar, die in vielerlei
Hinsicht als Vorbild für alle modernen physikalischen und naturwissenschaftlichen Theorien im
allgemeinen gilt. Sie erfüllt alle Anforderungen an eine gute physikalische Theorie:
1. Sie vereinheitlicht die Beobachtungen in den beiden vorerst völlig verschiedenen Bereichen
der elektrischen und magnetischen Phänomene unter eine gemeinsame Theorie.
2. Diese Vereinheitlichung führt zur Erklärung von weiteren Phänomenen, zum Beispiel die
elektromagnetischen Wellen (Licht usw.), die zwar schon bekannt, aber noch nicht theoretisch
beschrieben worden waren.
3. Aus der Elektrodynamik folgen Vorraussagen für vorher vollständig unbekannte Effekte,
die Einstein in der speziellen Relativitätstheorie zusammengefasst hat. Sie sind in der
Zwischenzeit unzählige Male alle mit hervorragender Genauigkeit bestätigt worden.
4. Die gesamte Theorie basiert auf vier miteinander gekoppelten Gleichungen, den Maxwellgleichungen.
Diese Einfachheit der Theorie macht sie besonders einleuchtend.
5.1

Die Theorie ist also gut, weil sie einen besonders grossen Bereich von Phänomenen zusammenfasst,
und weil sie nachprüfbare quantitative Vorraussagen über vorher unbekannte Phänomene
macht. Sie ist schliesslich schön, weil sie eine einfache formale Struktur hat und auf wenigen
Grundaussagen beruht.
Die wichtigsten historischen Eckdaten sind: Elektrostatik: Cavendish und Coulomb 1784, die
Vereinheitlichung der elektrischen und magnetischen Felder in den Maxwellgleichungen: Faraday
und Maxwell 1862, die spezielle Relativitätstheorie: Einstein 1905.
5.2 Elektrostatik
5.2.1 Die elektrische Ladung und das Gesetz von Coulomb
Die Elektrostatik handelt von zeitlich konstanten, oder nur langsam variierenden elektrischen
Feldern. Sie basiert auf dem Kraftgesetz von Coulomb, das äquivalent zu einer der vier Maxwell’schen
Gleichungen ist.
⃗F 21
⃗ F12 = 1
✛
❥
⃗r 12
✲❥
q 1 q 2
F12 ⃗ = F ⃗ C
✲
q 1 q 2
4πɛ 0 r 2
⃗r
r
Die in der Gleichung auftretende Natur-Konstante hat den Wert ɛ 0 = 8.85 · 10 −12 (As) 2
Dies ist die Kraft, die ein mit elektrischer Ladung q 1 geladener Körper 1 auf den mit q 2 geladenen
Körper 2 ausübt. ⃗r ist der Abstandsvektor, der von Körper 1 auf Körper 2 zeigt. Falls die q 1 und
q 2 das gleiche Vorzeichen haben, wirkt die Kraft abstossend, wie gezeichnet. Bei verschiedenen
Vorzeichen wirkt die Kraft anziehend.
Mit dem Coulomb’schen Gesetz beschreiben wir die Auswirkung eines Phänomens, das an der
Wurzel der Elektrodynamik steht: Es gibt elektrische Ladung. Wir wissen nicht, warum sie
existiert. Wir können nur ihre Eigenschaften und Auswirkungen beschreiben:
1. Die elektrische Ladung ist die Ursache der elektrischen Kräfte (und Felder), analog zu den
schweren Massen, die die Gravitationskraft verursachen.
2. Es gibt positive und negative elektrische Ladungen. Dies wird durch Reibungselektrizität
demonstriert: Durch Katzenfell und Plexiglasstab erzeugte Ladung zieht durch Leder und
Glasstab erzeugte Ladung an. Dagegen stossen sich gleichartige Ladungen ab.
3. Elektrische Ladungen kommen nur in ganzzahligen Vielfachen der Elementarladung e =
1.6021892(46) × 10 −19 C vor. Historisch gesehen ist die elektrische Ladung die älteste
quantisierte physikalische Grösse.
Nm 2
5.2

4. Einheiten: [q] = 1 C =1 Coulomb = 1 Ampere × Sekunde.
5. Die totale elektrische Ladung (Summe aller Ladungen im System) ist erhalten. Elektrische
Ladung kann nicht erzeugt oder vernichtet werden. (Reibungselektrizität entsteht durch
Ladungstrennung von Elektronen und Atomkernen.)
5.2.2 Das elektrische Feld
Analog wie in der Mechanik beschreiben wir die elektrischen Eigenschaften des Raumes in der
Umgebung einer elektrischen Ladung Q durch ein elektrisches Feld ⃗ E. Sie ist definiert durch die
Kraft, die auf eine ruhende Probeladung q wirkt.
⃗E = ⃗ F
q
⃗E Q ist das von der Ladung Q erzeugte elektrische Feld: Q erzeugt ⃗ E Q , ⃗ E Q wirkt auf q (Abbildung
5.1). Das Feld spielt hier sozusagen den Übermittler der Kraft von Q auf q. Dabei können
wir genau so gut behaupten, dass die Ladung q ein Feld ⃗ E q erzeugt, welches auf Q wirkt. Hingegen
übt das von einer Punktladung Q erzeugte Feld auf Q selber keine Kraft aus. Im folgenden
werden wir immer die Ladung Q als felderzeugende und q als Probeladung im Feld betrachten.
✁ ✁✁✕
❆
✁
⃗E Q (⃗r)
✁
❆ ✁✁
❍
❍
❆ ✁
✁✁☛
⃗F C (⃗r)
❍
❍
❆
❍❆
✁3✟ ✁ −q
✟
✟✟✟✟
✟
✟ ✁
❍
❆ ❍❍❍❍
✟ ✁ ❆
✟ +Q
✁ ❆
✁
✁
❆❆
✁ ✁✕
❆ −q ✁
⃗F C (⃗r)
✁
❆
✁
✁✁
⃗E
❍
❍
❆
Q (⃗r)
❍
❍
❆
❍❆
3✟ ✁ ✁☛
✁
✟
✟✟✟✟
✟
✟ ✁❆ ❍ ❍❍❍❍
✟ ✁ ❆
✟ −Q
✁ ❆
✁
✁
❆❆
Abbildung 5.1: Das elektrische Feld einer
sphärisch symmetrischen Ladungsverteilung
ist ein Zentralfeld. Die Kraftwirkung
ist auf das Ladungszentrum
hin gerichtet, wenn die Probeladung
q das entgegengesetzte Vorzeichen hat
wie die felderzeugende Ladung Q bzw.
vom Zentrum weg radial nach aussen
gerichtet bei zwei Ladungen gleichen
Vorzeichens.
Diese Ausführungen mögen den Eindruck erwecken, dass es sich beim elektrischen Feld nur eine
mathematische Umformulierung der Coulombkraft handelt. In der Elektrodynamik zeigt sich
allerdings, dass das elektrische Feld eine eigene physikalische Realität darstellt. Es gibt auch
elektrische Felder ohne dass Ladungen vorhanden wären. Elektrische Felder werden auch durch
zeitlich variable Magnetfelder erzeugt.
5.2.3 Der elektrische Dipol
Bringt man zwei elektrische Ladungen mit umgekehrt gleichem Betrag q 1 = −q 2 in einen kleinen
(aber nicht verschwindenden) Abstand ⃗ d spricht man von einem Dipol.
Elektrische Dipole spielen in Chemie und Biologie auch eine wesentliche Rolle. So haben die
meisten asymmetrischen Moleküle wie zum Beispiel Wasser unterschiedliche Schwerpunkte für
5.3

_
+
E
Abbildung 5.2: Das elektrische Feld eines
Dipols wird erzeugt von zwei entgegengesetzt
gleichen Ladungen im Abstand d. Das
Feld ist symmetrisch bezüglich einer horzontalen
Ebene in der Mitte zwischen den
beiden Ladungen. Die Ebene ist auch eine
Äquipotentialfläche mit dem Potential
null. Ganz dicht bei den einzelnen Ladungen
sind die Felder nahezu gleich wie die
einer einzelnen Punktladung (siehe Abbildung
5.1). Weit weg von der Ladung nimmt
das Feld ab mit der dritten Potenz des Abstands
ab, weil der Einfluss der beiden Ladungen
sich nahezu aufhebt. Von grosser
Distanz aus gesehen sieht man die Gesamtladung
null (siehe Abschnitt 5.2.6).
positive und negative Ladungen, und stellen somit elektrische Dipole dar, die entsprechend
aufeinander Kräfte ausüben und die von externen elektrischen Feldern beeinflusst werden.
Elektrische Dipole werden von einem äusseren, inhomogenen elektrischen Feld immer angezogen.
Das kann man sich leicht durch eine Skizze klarmachen (skizziere zum Beispiel die Kräfte auf
einen elektrischen Dipol im Feld einer Punktladung Q).
5.2.4 Das elektrostatische Potential
Man kann leicht zeigen, dass in einem elektrischen Zentralfeld ⃗ E die Arbeit der Coulomb-Kraft
bei der Verschiebung einer Ladung q unabhängig vom Weg C ist, den man zwischen den Anfangsund
Endpunkten (1 bzw. 2) einschlägt (siehe Uebungen).
Das elektrostatische Feld ist also konservativ. Demnach macht es Sinn von der potentiellen
Energie zu reden. Wir definieren die potentielle Energie U und das Potential V wie folgt:
∫ 2
1
∫ 2
⃗F C (⃗r)d⃗r = q ⃗E(⃗r)d⃗r = −(U(2) − U(1)) ≡ −q(V (2) − V (1))
1
Die Arbeit ist gerade gleich der Differenz der potentiellen Energien U bzw. gleich der Differenz
des elektrostatischen Potentials V am Anfangs- und Endpunkt multipliziert mit der Ladung q.
Der umgekehrte Prozess der Gradientenbildung erlaubt aus der potentiellen Energie U oder aus
dem Potential V das elektrische Feld zu berechnen:
⃗E = −grad V
⃗ FC = −grad U
grad U = ( ∂U
∂x , ∂U
∂y , ∂U
∂z )
5.4

Die Potentialdifferenz V (2)−V (1) wird auch als Spannung bezeichnet. Die Einheit der Spannung
ist das Volt (1 V = 1 Nm/As). Hier wird, den Usanzen folgend der Buchstabe V sowohl für die
Einheit der physikalischen Grösse Spannung als auch für die Grösse selber verwendet.
∫ 2
1
⃗E d⃗r = −(V (2) − V (1)) =
Potentialdifferenz ≡ Spannung ≡ V
Genau wie sich nur Unterschiede in der potentiellen Energie messen lassen, nicht aber der Absolutwert,
lassen sich auch nur Differenzen des elektrostatischen Potentials messen, also Spannungen.
Man setzt aber gewöhnlich das elektrostatische Potential weit weg von den felderzeugenden
Ladungen Null, d. h. mit V (1) = V (∞) ≡ 0 und V (2) = V (r) erhält man die Definition
V (r) = −
Beschreibt die Kurve C, die von 1 nach 2 verläuft, einen geschlossenen Weg, dann fallen die
Punkte 1 und 2 zusammen, und wir erhalten keine Potentialdifferenz:
∮
⃗Ed⃗r = 0
C
Dies gilt für jedes zentrale Kraftfeld und auch für jede Superposition von solchen zentralen Kraftfeldern.
Solche Felder, bei denen die Potentialdifferenz eines geschlossenen Weges verschwindet,
heissen konservativ, man spricht von Quellenfelder.
Im Gegensatz dazu heissen Felder mit geschlossenen Feldlinien Wirbelfelder, bei solchen ist
dann das geschlossenen Linienintegral nicht mehr null, ein Potential kann deshalb nicht definiert
werden. Beispiel eines Wirbelfeldes ist das Magnetfeld eines elektrischen Stromes.
∫ r
∞
⃗E d⃗r
5.2.5 Der Gauss’sche Satz der Elektrostatik
Der Fluss eines Vektorfeldes S ⃗ durch eine Fläche A (mit dA ⃗ ≡ ˆndA)
wird definiert durch:
∫
∫
∫ ∫
Φ = ⃗S · dA ⃗ ≡ ( S ⃗ · ˆn)dA = S n dA = S cos αdA
A
A
Der Einheitsvektor ˆn steht senkrecht auf der Fläche, also parallel zu ⃗ dA.
S n ist die Normalkomponente des Feldes ⃗ S.
Falls das Vektorfeld senkrecht auf der Fläche steht, also ⃗ S ‖ ⃗ dA und
α = 0, ist der Fluss maximal. Falls die Vektoren in der Fläche liegen,
also ⃗ S ⊥ ⃗ dA und α = π/2 wird der Fluss null, “es fliesst nichts durch
die Fläche hindurch”.
Das Flussintegral ist ein sogenanntes Flächen- oder Gebietsintegral (siehe
Storrer, p. 376)
A
A
α
n^
dA
S
S . dA
S cos α =
dA
Wählen wir als Fläche, für die wir für das Flussintegral auswerten, eine geschlossene Oberfläche
im Raum A V , dann ist der einkommende Fluss gleich dem ausgehenden Fluss, der Gesamtfluss
also gleich null.
5.5

Dies gilt nur, falls sich im Innern des Volumens V , das von der Oberfläche A V
keine Quelle befindet:
∮
Quellenfreies Vektorfeld : Φ = S ⃗ · dA ⃗ = S n dA = 0
∮A V A V
begrenzt wird,
Als Integrationsfläche A V wählen wir nun der Einfachheit
halber die Oberfläche (A K = ∮ K dA = 4πr2 ) einer zur Ladung
Q konzentrischen Kugel. Auf der Kugeloberfläche gilt
immer
⃗E ‖ d ⃗ A ⇒ ⃗ E · d ⃗ A = E dA
y
E
r
dA
E
E
z
Da nichts hineinfliesst, sondern nur etwas herauskommt,
wird das Flussintegral sicher nicht verschwinden. Für den
einfachen Fall der Punkladung können wir das Integral berechnen:
dA
E
E
A K
⃗E(⃗r) =
∮
Φ =
K
Q ⃗r
4πɛ 0 r 3 , E(r) = | E(⃗r)| ⃗ = Q 1
4πɛ 0 r 2
∮
⃗E · dA ⃗ =
K
E dA =
Q 1
4πɛ 0 r
∮K
2 dA = Q ɛ 0
Für das elektrische Feld einer Punktladung finden wir also
∮
Φ = ⃗E · dA ⃗ = Q
K ɛ 0
Dies ist der Gauss’sche Satz. Eine verallgemeinerte Betrachtung zeigt, dass es nicht darauf
ankommt, wo die Ladung Q sitzt, solange sie von der Fläche umschlossen ist. Ebenso spielt die
Form der Fläche keine Rolle, solange sie die Ladung Q umschliesst.
Es gilt also allgemein der Gauss’sche Satz:
∮A V
⃗ E · d ⃗ A =
∮
Q innen ist die von der Fläche A V
A V
E n dA = Q innen
ɛ 0
ganz umschlossene Ladung.
Der totale Fluss des elektrischen Feldes durch eine geschlossene Oberfläche ist gleich der eingeschlossenen
Ladung (× 1/ɛ 0 ), oder anschaulicher formuliert
Ladungen sind die Quellen des elektrostatischen Feldes.
Während die Feldlinien bei positiven Ladungen anfangen (entspringen), so enden sie bei negativen
Ladungen. Negative Ladungen sind somit negative Quellen, d.h. Senken des Feldes.
∮
Für ein beliebiges Quellenfeld S ⃗ gilt also
S ⃗ · dA ⃗ ≠ 0 ,
A V
∮
wenn Quellen im Innern vorhanden sind, und
S ⃗ · dA ⃗ = 0 ,
A V
wenn das Innere frei von Quellen ist.
5.6

Diese Aussagen des Gauss’schen Satzes der Elektrostatik sind äquivalent zum Kraftgesetz von
Coulomb. Der Gauss’sche Satz der Elektrostatik bildet eine der vier Maxwellgleichungen.
5.2.6 Elektrische Felder und Potentiale spezieller Ladungsverteilungen
Punktladung: Aus dem bekannten elektrischen Feld einer Punktladung
⃗E(⃗r) =
Q ⃗r
4πɛ 0 r 3
erhält durch Integration das dazugehörige elektrostatische Potential
−(V (2) − V (1)) =
∫ 2
1
⃗E · d⃗r =
∫ 2
1
E(r)dr =
Q ∫ 2
dr
4πɛ 0 1 r 2 = − Q ( 1
− 1 )
4πɛ 0 r 2 r 1
⃗r bezeichnet wie gewohnt den Vektor von der felderzeugenden Ladung zum Punkt, an dem das
Feld gemessen wird. Mit r 1 = ∞ und r 2 = r ergibt sich
V (r) =
Q 1
4πɛ 0 r
Systeme von Punktladungen: Nach dem Superpositionsprinzip ergeben sich die elektrischen
Felder und damit auch die elektrostatischen Potentiale von Punktladungsverteilungen aus der
Summe der Beiträge der einzelnen Ladungen.
⃗E P = ∑ i
⃗E i = ∑ i
Q i
4πɛ 0
⃗r i
r 3 i
, ⃗r i = Vektor Q i → P
V P = ∑ i
V i = ∑ i
Q i 1
4πɛ 0 r i
Für kontinuierlich verteilte Ladungen können die Punktladungen durch geladene, differentielle
Volumenelemente dV mit der Ladung dQ = ρdV ersetzt werden. ρ bezeichnet die Ladungsdichte.
Die Summation wird durch eine entsprechende Integration ersetzt.
∫
⃗E P =
d ⃗ E P = 1
4πɛ 0
∫
ρ(⃗r) ⃗r dV , ⃗r = Vektor dQ → P
r3 V P = 1
4πɛ 0
∫
ρ(⃗r) 1 r dV
Dipol: Zwei gleich grosse Punktladungen mit verschiedenen Vorzeichen im Abstand d bilden
einen Dipol.
5.7

P
✒ ✁ ✁✕
✓ ✓✓✼
✓✁ ✁
✓ ✓ ✁ ✁ ⃗r + ⃗r ⃗r −
✓ ✁
✓ ✓ ✁ ✁
✓ ✁
3 ✛
θ✓ ✓ ✁3
✁
+Q ⃗d −Q
Im Punkt P ergibt sich für das Feld
⃗E = ⃗ E + + ⃗ E − =
und für das Potential
V = V + + V − =
Q
4πɛ 0
( ⃗r +
r 3 +
− ⃗r −
r−
3 ) ,
Q ( 1 − 1 ) .
4πɛ 0 r + r −
Weit weg vom Dipol (r + , r − , r >> d) lässt sich mit den Beziehungen
zeigen, dass gilt
⃗r ± = ⃗r ∓ 1 2 ⃗ d ,
r ± = r
√
V (r) =
1 ∓ d r
d2
cos θ +
4r 2 ≈ r(1 ∓ d cos θ)
2r
Q d cos θ
4πɛ 0 r 2 .
Das resultierende Feld wird aus dem Gradienten des Potentials bestimmt und ist symmetrisch
bezüglich der Dipolachse (siehe Abbildung 5.2), und proportional zum sogenannten Dipolmoment
⃗p = Q ⃗ d, wobei die Richtung des Abstands-Vektors ⃗ d von der Minusladung zur Plusladung
definiert ist. Auf der Spiegelebene (in der Mitte zwischen den beiden Ladungen) gilt
θ = 90 ◦ , cos θ = 0 und damit
V (⃗r) = 0,
⃗ E(⃗r) = −
Q
4πɛ 0
⃗ d
r 3 ≡ − 1
4πɛ 0
⃗p
r 3
Obwohl ein Dipol die Gesamtladung Null trägt, erzeugt er offenkundig ein Feld ⃗ E. Dessen
Betrag nimmt allerdings, wie die Berechnungen zeigen, mit der dritten Potenz des Abstandes,
also rascher als für eine Punktladung, ab. Eine Ladung und ein Dipol oder auch zwei Dipole üben
infolgedessen aufeinander Kräfte aus. Dies führt u. a. zu interatomaren oder intermolekularen
Kräften.
Homogen geladene Ebene: Wenn sich auf einer als beliebig gross angenommenen Ebene pro
Fächeneinheit gleich viel Ladungen befinden, so muss das resultierende Feld überall gleich sein.
Die Feldlinien stehen aus Symmetriegründen senkrecht zur Ebene und der Betrag der Feldstärke
ist überall der gleiche.
5.8

Das Feld lässt sich aus der Oberflächenladungsdichte σ berechnen,
die definiert ist als
σ = Ladung
Fläche = dQ
dA .
Hier gilt σ =const. Anwendung des Gauss’schen Satzes auf eine
Pillenschachtel A P mit der Deckelfläche A D , die die Ladung Q P =
σA D enthält, ergibt
✻⃗ E
☞
☞ ☞ ☞
☞ ☞ ☞ ☞
++++++++++
☞
E ⃗ ❄
∮
∫
Φ = E n dA = 2 E n dA = 2EA D = Q P
= σ A D , ⇒ E = σ .
A P A D
ɛ 0 ɛ 0 2ɛ 0
☞
☞ ☞ ☞
☞ ☞ ☞
Nur die Deckelflächen geben einen Beitrag, auf den Randflächen ist ⃗ E ⊥ d ⃗ A, und daher ⃗ E ·d ⃗ A =
0.
Plattenkondensator: Wenn zwei Ebenen mit festem Abstand d gleich stark, aber mit Ladungen
verschiedenen Vorzeichens bedeckt sind, spricht man von einem Plattenkondensator. Das
resultierende Feld beschränkt sich auf den Zwischenraum, denn ausserhalb kompensieren sich
die Felder der beiden Ebenen. Das Feld ist homogen.
Mit den Ergebnissen für die homogen geladene Ebene erhalten
wir aussen bzw. innen
⃗E a = ⃗ E 1 + ⃗ E 2 = 0 , ⃗ Ei = ⃗ E 1 + ⃗ E 2 = 2 ⃗ E 1 = 2 ⃗ E 2 ,
⇒ | ⃗ E| = σ ɛ 0
, ⃗ E ⊥ Platte .
In guter Näherung lässt sich diese Situation realisieren, wenn
zwei ebene Metallplatten mit je der Ladung ±Q aufgeladen
werden, wobei der Plattenabstand d klein gegen den Plattendurchmesser
gewählt wird. Von Randeffekten abgesehen
(siehe Abbildung 5.3) ist das Feld innerhalb dieses Kondensators
homogen. Die Oberflächenladungsdichte ist dann
σ = Q/A, wobei A die Plattenfläche ist.
✻⃗ E1 ⃗E 2
1
❄
✻++++++++++++++
d ⃗E E
❄ ⃗ 1
⃗E 2 E ⃗
❄−−−−−−−−−−−−−−
❄
❄ ❄
❄ ⃗ E 1
✻
⃗E 2
2
Für die Spannung bzw. die Potentialdifferenz erhalten wir, wenn wir einen geradlinigen Integrationsweg
von der oberen Platte (1) zur unteren Platte (2) parallel zu ⃗ E wählen,
−(V (2) − V (1)) =
∫ 2
1
∫ 2
V (1) − V (2)
⃗E · d⃗r = E dr = Ed , ⇒ E = ≡ V
1
d d
Das elektrische Feld zwischen den Platten eines Plattenkondensators ist konstant, senkrecht
zu den Platten und gleich den Quotienten aus Spannung und Abstand. Mit Kapazität C eines
Kondensators bezeichnet man die Grösse
C ≡ Q V
(Einheit : Farad (F) =
As
V = A2 s 4
m 2 kg )
5.9

Die Kapazität ist eine nur von der Geometrie abhängige Grösse. Für den ebenen Plattenkondensator
gilt
C = Q V = σA
Ed = ɛ 0EA
Ed
= ɛ 0A
d
A
+q
-q
Abbildung 5.3: Das elektrische Feld
eines Plattenkondensators endlicher
Ausdehnung.
Die beiden geladenen Platten ziehen sich natürlich wegen der Coulombkraft an. Mit Hilfe der in
der Vorlesung demonstrierten Thomsonwaage kann die Kraft gemessen werden.
Entgegengesetzte Flächenladungen und damit verbundene Potentialdifferenzen treten, genau
wie beim Plattenkondensator, auch an den Membranen lebender Zellen auf. Sie spielen beim
Transport von Ionen, d. h. beim Stoffwechsel der Zelle, aber auch für die elektrische Aktivität
von Muskel- und Nervenzellen eine zentrale Rolle.
5.2.7 Leiter in elektrischen Feldern
Das Verhalten von Materialien in elektrischen Feldern erlaubt es uns, sie grob in zwei Klassen
einzuteilen, nämlich Leiter und Isolatoren (Nichtleiter). In einem Leiter sind die Ladungen frei
beweglich, wie z. B. die Elektronen in Metallen oder die Ionen in Elektrolyten). In Isolatoren
können die Ladungen nur wenig aus ihrer Ruhelage, an die sie elastisch durch innneratomare
oder innnermolekulare K¨rafte gebunden sind, verschoben werden.
Leiter: Gute Leiter oder Konduktoren sind z. B. Metalle. In einem elektrischen Feld bewegen
sich die freien Ladungen, Es fliesst ein Strom. Eine statische Situation mit ruhenden Ladungen
erhalten wir nur, wenn sich die gegenseitigen Kräfte der einzelnen Ladungen untereinander kompensieren.
Diese Bedingungen führen dazu, dass die überschüssigen Ladungen sich gleichmässig
auf die Oberfläche verteilen, dass das elektrische Feld im Inneren des Leiters verschwindet, und
aussen senkrecht auf der Leiteroberfläche steht (siehe Abbildung 5.4).
Leiteroberflächen sind Äquipotentialflächen des elektrostatischen Feldes.
5.10

++++ +++++++
Anfangszustand
+
+ + + + + +
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ + + + +
Endzustand
E a
+ + + ++++++
+ ++ + + + + + + + +
+
Q i =0
+
+ + + + + +
A + V + + + + +
E a
Überschüssige, frei bewegliche Ladungen
verteilen sich unter dem Einfluss der gegenseitigen
abstossenden Kräfte so auf der Leiteroberfläche
bis sie in Ruhe sind.
Das elektrische Feld steht senkrecht zur Oberfläche
aussen am Leiter, denn Komponenten des elektrischen
Feldes parallel zur Oberfläche würden zu Ladungsverschiebungen
und Strömen führen, also nicht
zu einer statischen Situation. Da sich im Innern keine
Ladungen befinden, verschwindet auch das elektrische
Feld im Innern, wie es der Gauss’sche Satz
lehrt.
Abbildung 5.4: Ladungsverteilung und und resultierendes elektrisches Feld für einen geladenen
Leiter.
Mit dem Gauss’schen Satz lässt sich das äussere Feld wie im Fall der
geladenen Ebene berechnen:
∮
A G
⃗ Ea · d ⃗ A = E a dA = Q innen
ɛ 0
= σdA
ɛ 0
, ⇒ E a = σ ɛ 0
Da die Oberfläche des Leiters eine Äquipotentialfläche ist, ist die Ladungsdichte
dort am grössten, wo der Krümmungsradius der Oberfläche
am kleinsten ist, also an Spitzen und Ecken. Das lässt sich wie folgt
begründen: Denken wir uns zwei näherungsweise kugelförmige Oberflächensegmente
mit verschiedenen Radien. Das elektrostatische Potential
auf einer Kugeloberfläche lautet:
V r =
Q
4πɛ 0 r = 4πr2 σ
4πɛ 0 r = σr
ɛ 0
E a
dA
+ + + + + + + +
+
E i =0 +
σ +
+
Q
Q'
+ +
+ + + ++ +
+ + +
+ + +
r
R
V = konst. ⇒ σ ∝ 1 r
Auch bei einer teilweise offenen Oberfläche wie bei einem
Topf wandern die überschüssigen Ladungen an die Aussenseite.
Will man einen metallischen Hohlraum zunehmend
aufladen, so muss die Ladung an der ladungsfreien
Innenseite abgestreift werden. Dies geschieht z. B. bei dem
im Abschnitt 4.2.2 beschriebenen Van de Graaff Generator.
+ + + +
+ + +
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
5.11

Bringen wir einen Leiter in ein äusseres elektrisches Feld ⃗ E a ,
so bewegen sich vorerst die freien Ladungen im Leiter. Der
stationäre Zustand mit einem inneren Feld ⃗ E i = 0 ist dann
erreicht, wenn die Ladungen sich so auf der Oberfläche verteilt
haben, dass das von ihnen erzeugte Feld ⃗ E σ im Innern das Feld
⃗E a gerade aufhebt,
⃗E a + ⃗ E σ = ⃗ E i = 0 .
_
_
__ _ _ + +++ +++++
_ ___
E=0 +
_ +
_ +
_
+
_
+
+
Auch im Innern eines metallischen Hohlraums (Faraday-Käfig)
ist das Feld E i = 0 (Abbildung 5.5).
Abbildung 5.5: Ein metallischer Hohlraum schirmt
äussere elektrische Felder ab. Der einen Blitzeinschlag
simulierende Funke springt zum Auto und dann über
den isolierenden Reifen weg von der Radnabe zum Boden.
Der Fahrer bleibt unverletzt.
Ein ursprünglich ungeladener Konduktor kann durch Influenz geladen werden, ohne dass ihm
durch Berühren überschüssige Ladungen zugeführt werden. Die dafür notwendigen Schritte sind
in Abbildung 5.6 gezeigt.
2
1
+
_ _ +++++
Q=0 __
+
+
E i =0 _ __ + ++
3
_ _ __
_ __ + +++++
4
+
_ _ +++++ __
_ __
_
_
_
_
Q Ω≠0 ≠ 0_
_
_
nach
2
nach
3
nach
4
Laden durch Influenz
Abbildung 5.6: Ein ungeladener Leiter wird durch Influenz geladen. i) Ein geladenes Objekt
erzeugt ein elektrisches Feld, das zu einer Ladungsverschiebung im Leiter führt. ii, iii) Durch
Erden des ungeladenen Leiters fliesst die Ladung, die das gleiche Vorzeichen wie die des geladenen
Objekts hat (hier positiv) ab. iv) Nach Entfernen der influenzierenden Ladung verteilen sich die
(hier negativen) Ladungen auf dem Leiter. Er bleibt geladen zurück.
5.12

5.2.8 Isolatoren in elektrischen Feldern, Polarisation
Obwohl die Ladungsträger in einem Isolator nicht frei sind, zeigen sich doch markante Einflüsse
äusserer elektrischer Felder auf isolierende Materialien.
Neben permanenten Dipolen von unsymmetrischen Moelkülen können alle Moleküle auch polarisiert
werden. In einem äusseren Feld wirken auf die negativen und die positiven Ladungen
entgegengesetzt gerichtete Kräfte. In einzelnen Atomen kann sich die Elektronenhülle gegenüber
dem positiven Atomkern verschieben, wie in der Abbildung 5.7 gezeigt wird. In einem Ionenkristallgitter
tritt ein ähnlicher Effekt für die negativen und positiven Ionen auf. Enthält der
Isolator polare Moleküle wie z. B. Wasser (Abbildung 5.8), d. h. solche, die ein permanentes
Dipolmoment besitzen , so richten sich diese, falls sie beweglich sind wie in Flüssigkeiten oder
Gasen ebenfalls im Feld aus. In allen Fällen erzeugt das Feld Dipole im Innern des Isolators,
man spricht von dielektrischer Polarisation.
Im Innern des Isolators heben sich die in Gegenrichtung verschobenen positiven und negativen
Ladungen an jeder Stelle auf (Ladungsdichte ρ i = 0). An der Isolatorenoberfläche aber treten
überschüssige negative oder positive Flächenladungen, die sogenannten Polarisationsladungen
σ p , auf und zwar so, dass das Feld ⃗ E pol , welches sie erzeugen, entgegengesetzt zum äusseren Feld
⃗E a ist (siehe Abbidlung 5.9).
+Q
-Q
+ _
0.095 nm
+ H
Abbildung 5.7: Verschiebungspolarisation:
Ohne äusseres Feld fallen die Schwerpunkte
der positiven und negativen Anteile
der Ladungsverteilung des neutralen
Atoms zusammen, mit äusserem
Feld werden sie auseinandergezogen. Das
Atom bekommt ein Dipolmoment p =
Q∆.
∆
O
Wasser
_
_
105°
+ H
Abbildung 5.8: Statisches Dipolmoment:
Wasser ist ein polares Molekül, das auch
ohne äusseres Feld ein Dipolmoment hat.
Das totale elektrische Feld ⃗ E ′ im Isolator besteht also aus zwei Anteilen, dem von aussen angelegten
Feld ⃗ E a und dem durch die Polarisation zusätzlich erzeugten Feld ⃗ E pol mit umgekehrter
Richtung. Es gilt also
⃗E ′ = ⃗ E a + ⃗ E pol
In Abbildung 5.9 ist das resultierende Feld ⃗ E ′ im Isolator mit E isolator bezeichnet.
Da das Polarisationsfeld ⃗ E pol die umgekehrte Richtung des äusseren Feldes hat, ist ⃗ E ′ dem
Betrag nach immer kleiner als ⃗ E a . Den Faktor, um den das Feld so reduziert wird, nennt man
die Dielektrizitätskonstante ɛ, sodass
⃗E ′ = 1 ɛ ⃗ E a
5.13

E isolator
+ -
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+ -
+ -
+ -
+ -
+
+
+
+
-
-
-
-
+
+
+
+
-
-
-
-
Abbildung 5.9: Polarisationsladung an der Oberfläche eines Isolators
in einem äusseren Feld. Die Ausrichtung der elementaren
Dipole erzeugt an der Oberfläche einen Überschuss an Ladungen,
Polarisationsladung σ p .
+
-
+
-
+
-
+|σ | −|σ |
p
p
ɛ ist eine Materialkonstante, einige typischen Werte sind in Tabelle 5.1 angegeben. Dabei sei
besonders auf den sehr hohen Wert von Wasser hingewiesen.
Manchmal wird auch die elektrische Polarisation ⃗ P verwendet, die dem durch die Polarisationsladung
erzeugten negativen Feldanteil entspricht:
⃗P := − ⃗ E pol
ɛ 0
Die elektrische Polarisation hat die gleiche Richtung wie das totale elektrische Feld im Isolator,
aber wegen dem konstanten Faktor ɛ 0 eine andere Einheit. (Die Polarisation ist gerade gleich
dem Diplmoment pro Volumeneinheit.)
Es gilt immer ɛ ≥ 1. Man definiert daher auch die elektrische Suszeptibilität χ := ɛ − 1. Durch
Einsetzen in die obigen Definitionen erhält man für die Polarisation
⃗P = χ ɛ 0
⃗ E
′
Die Polarisation ist also proportional zum tatsächlichen elektrischen Feld, wie wir das erwarten.
Sie wird ja entweder durch Ladungsverschiebung oder durch (teilweises) Ausrichten existierender
Dipolmomente (z.B. von Wasser) erzeugt.
Material Dielektrizitätskonstante
Luft 1.0006
Bakelit 4
Glas 4 bis 10
Porzellan 6
Wasser 81
Seignettesalz 9000
Bariumtitanat 10000
Tabelle 5.1: Dielektrizitätskonstanten
für verschiedene Isolatoren.
Wir können die Beziehung zwischen Ladungen und Feld auch wieder durch Anwendung des
Gauss’schen Satzes finden. Nehmen wir an, dass sich unser Dielektrikum in einem Plattenkondensator
mit Oberflächenladungsdichte σ befindet, die das äussere Feld E ⃗ a erzeuge. Dann gilt:
∮
E ⃗ ′ dA ⃗ = | E ⃗ ′ |A = Q innen
= A(σ + σ p)
ɛ 0 ɛ 0
A G
5.14

⇒ | E ⃗ ′ | = σ + σ p
≡ | E ⃗ a |
= σ
ɛ 0 ɛ ɛɛ 0
In einen Kondensator, der mit einem Dielektrikum gefüllt ist, muss man also eine um einen
Faktor ɛ höhere Ladung einfüllen, um das gleiche totale elektrische Feld ⃗ E ′ und damit die
gleiche Spannung V zu erzeugen, wie ohne Dielektrikum. Die Kapazität des Kondensators Q/V
hat sich also um den Faktor ɛ erhöht.
Man kann die obige Gleichung auch nach σ p auflösen und erhält
σ p = − ɛ − 1 σ → −σ für ɛ >> 1
ɛ
Für Wasser heben die Polarisationsladungen den Effekt der Ladungen auf den Kondensatorplatten
nahezu auf, denn es gilt σ ≈ −σ p . Das elektrische Feld mit Isolator verschwindet fast
vollständig.
Die Tatsache, dass die Polarisation eines Mediums das innere Feld verkleinert, ist ausserordentlich
wichtig für die Chemie von Lösungen und daher auch für die Biologie. Betrachten wir zwei
entgegengesetzt gleiche Ladungen Q + und Q − , z. B. Ionen, so ist ihre Anziehungskraft in Lösung
(und damit die Wahrscheinlichkeit ihrer Rekombination)
| ⃗ F | = Q − | ⃗ E ′+ | = Q − | ⃗ E + |
ɛ
um den Faktor ɛ kleiner als im Vakuum. Wasser ist aus diesem Grund ein sehr gutes Lösungsmittel.
Da bei der Polarisation eines Isolators z. B. eines Kristalls, Ionen im Gitter verschoben werden,
kann eine Deformation resultieren. Werden speziell Wechselfelder angelegt, so fängt der Kristall
an zu schwingen. Umgekehrt kann er auch polarisiert werden, indem nicht ein elektrisches Feld,
sondern Druck angewandt wird. Die daraus resultierende Deformation bedeutet dann ebenfalls
eine Verschiebung von Ladungen. Kristalle, welche diesen sogenannten piezoelektrischen Effekt
zeigen, sind z. B. Quarz, Turmalin. Da z. B. Quarzplättchen eine scharf definierte mechanische
Eigenfrequenz besitzen, dienen sie in Schwingkreisen zur Frequenzstabilisierung (Quarzuhren).
5.15