Elektrostatik - Universität Zürich

Dies gilt nur, falls sich im Innern des Volumens V , das von der Oberfläche A V
keine Quelle befindet:
∮
Quellenfreies Vektorfeld : Φ = S ⃗ · dA ⃗ = S n dA = 0
∮A V A V
begrenzt wird,
Als Integrationsfläche A V wählen wir nun der Einfachheit
halber die Oberfläche (A K = ∮ K dA = 4πr2 ) einer zur Ladung
Q konzentrischen Kugel. Auf der Kugeloberfläche gilt
immer
⃗E ‖ d ⃗ A ⇒ ⃗ E · d ⃗ A = E dA
y
E
r
dA
E
E
z
Da nichts hineinfliesst, sondern nur etwas herauskommt,
wird das Flussintegral sicher nicht verschwinden. Für den
einfachen Fall der Punkladung können wir das Integral berechnen:
dA
E
E
A K
⃗E(⃗r) =
∮
Φ =
K
Q ⃗r
4πɛ 0 r 3 , E(r) = | E(⃗r)| ⃗ = Q 1
4πɛ 0 r 2
∮
⃗E · dA ⃗ =
K
E dA =
Q 1
4πɛ 0 r
∮K
2 dA = Q ɛ 0
Für das elektrische Feld einer Punktladung finden wir also
∮
Φ = ⃗E · dA ⃗ = Q
K ɛ 0
Dies ist der Gauss’sche Satz. Eine verallgemeinerte Betrachtung zeigt, dass es nicht darauf
ankommt, wo die Ladung Q sitzt, solange sie von der Fläche umschlossen ist. Ebenso spielt die
Form der Fläche keine Rolle, solange sie die Ladung Q umschliesst.
Es gilt also allgemein der Gauss’sche Satz:
∮A V
⃗ E · d ⃗ A =
∮
Q innen ist die von der Fläche A V
A V
E n dA = Q innen
ɛ 0
ganz umschlossene Ladung.
Der totale Fluss des elektrischen Feldes durch eine geschlossene Oberfläche ist gleich der eingeschlossenen
Ladung (× 1/ɛ 0 ), oder anschaulicher formuliert
Ladungen sind die Quellen des elektrostatischen Feldes.
Während die Feldlinien bei positiven Ladungen anfangen (entspringen), so enden sie bei negativen
Ladungen. Negative Ladungen sind somit negative Quellen, d.h. Senken des Feldes.
∮
Für ein beliebiges Quellenfeld S ⃗ gilt also
S ⃗ · dA ⃗ ≠ 0 ,
A V
∮
wenn Quellen im Innern vorhanden sind, und
S ⃗ · dA ⃗ = 0 ,
A V
wenn das Innere frei von Quellen ist.
5.6