Physik A Teil 1: Mechanik - Physik-Institut - Universität Zürich

Die reine Rotation um AB kann also auch als Translation mit der Geschwindigkeit ⃗v s
und eine Rotation mit der Winkelgeschwindigkeit ⃗ω um eine zu AB parallele Achse, die
durch S geht, aufgefasst werden.
∫
Der Drehimpuls bezüglich ◦ ist einerseits L◦ ⃗ = ⃗r × (⃗ω × ⃗r)dM.
. ∫
Dessen Komponente parallel zu AB beträgt L ◦z = I ◦ ω, wobei I ◦ = d 2 ◦ dM als das
Trägheitsmoment bezüglich AB definiert ist und d ◦ der Abstand des Massenelements dM
von der Achse AB ist. Andererseits können wir den Drehimpuls bezüglich ◦ nach Gl. (108)
in zwei Anteile zerlegen: ⃗ L◦ = ⃗r s × ⃗v s M + ⃗ L s = ⃗r s × (⃗ω × ⃗r s )M + ⃗ L s .
Die z-Komponente von ⃗ L ◦ ist so L ◦z = I ◦ ω = (I s + Md 2 s)ω, mit d s = √ x 2 s + y 2 s dem
senkrechten Abstand des Schwerpunkts von der Drehachse ◦ [vgl Gl. 109)]. Es gilt also:
I ◦ = I s + M d 2 s Satz von Steiner 75 . (113)
Von allen Trägheitsmomenten für eine gegebene Achsenrichtung ist dasjenige bezüglich
der Achse durch den Schwerpunkt am kleinsten.
9.5 Berechnung einiger Trägheitsmomente
Bei der Anwendung der Formel I s = ∫ d 2 dM versucht man solche Massenelemente dM
zusammenzufassen, die den gleichen Abstand d von der durch S gehenden Achse haben.
1. Homogener Zylinder bezüglich der Zylinderachse dM = ρdV = ρ2πr · dr · h
K
K
R
dI s = 2πrhρr 2 dr.
∫R
I s = 2πhρ r 3 dr = 2πhρR4
4
◦
= 1 2 MR2 , M = πR 2 hρ.
2. Homogener Hohlzylinder bezüglich der Zylinderachse
I s
∫R 2
= 2πhρ r 3 dr = πhρ
2 (R4 2 − R1)
4
R 1
I s = 1 2 M(R2 1 + R 2 2), M = πhρ(R 2 2 − R 2 1).
R 2 R 1
75 Jakob Steiner 1796-1863 als Bauernsohn in Utzenstorf bei Bern geboren lernte erst mit 14 Jahren
schreiben, verlässt mit 18 trotz Protest der Eltern den Hof, geht zu Pestalozzi nach Yverdon und unterrichtet
nach 1 1 2
Jahren selbst Mathematik, studiert mit 22 in Heidelberg und ist dann Lehrer in Berlin
an Privat-, Hilfs-, Ober- und Gewerbeschulen. 1832 erhält er den Dr.h.c. der Univ. Königsberg und wird
1834 a.o. Professor an der neugegründeten Univ. Bern für Mathematik, Geometrie und Kinematik.
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