Physik A Teil 1: Mechanik - Physik-Institut - Universität Zürich

Unter Erfüllung der Anfangsbedingungen: x s (0) = 0; v s (0) = 0; ϕ(0) = 0; ω(0) = 0
lauten die Lösungen v s (t) = g(sinα − µ G cos α)t, x s (t) = g 2 (sin α − µ G cosα)t 2
ω(t) = µ GMga cos α
I s
t, ϕ(t) = µ GMga cos α
2I s
t 2 .
Speziell für einen Vollzylinder mit I s = Ma 2 /2 wird ω(t) = 2µ Gg cos α
a t.
Würde dieser Zylinder rollen ohne zu gleiten, würde die Rollbedingung
ω ′ (t) = v s(t)
a
= g(sinα − µ G cos α)t
a
verlangen, dann wäre
ω ′
ω = 1 (tanα−µ G ).
2µ G
Da tanα > 3µ G , so ist ω ′ > ω, d.h. der Zylinder dreht sich zu langsam, um rein
rollen zu können.
9.6.5 Aufsetzen eines rotierenden Zylinders auf eine schiefe Ebene
★✥ N
❏❪ x Die Bewegungsgleichungen lauten 0 = Mg cos α − N (124)
❅❘
a❏
ϕ
❏
✧✦ ❏✑ ✑✑✸ R
✑ ✑✑✑✑✑✑✑✑✑✸ ❄ Mg M d2x s = R−Mg sin α (125)
dt I d 2 ϕ
2 s = −Ra. (126)
dt2 α
Wird der Zylinder zur Zeit t = 0 so aufgesetzt,
dass die Anfangsbedingungen v s (0) = 0, ω(0) = ω ◦ gelten, so wird er zunächst gleiten, es
gilt also R = µ G N = µ G Mg cosα. Aus Gl. (125) und Gl. (126) folgt dann
d 2 x s
dt 2 = g(µ G cosα − sin α),
d 2 ϕ
dt = −µ GMga cosα
.
2 I s
Unter Berücksichtigung der Anfangsbedingungen liefert die Integration:
v s (t) = g(µ G cosα − sin α)t,
ω = ω ◦ − µ GMga cosα
I s
t.
Wenn µ G > tanα, so bewegt sich der Zylinder die schiefe Ebene hinauf; im Falle µ G <
tanα bewegt er sich abwärts. Für den speziellen Fall tanα = µ G verschwindet v s . Der
Zylinder rotiert an der Aufsatzstelle, ohne sich fortzubewegen.
Diese Lösungen sind nur bis zum kritischen Zeitpunkt T k gültig, wenn der Zylinder
so stark abgebremst wurde, dass die Rollbedingung v s (T k ) = aω(T k ) erfüllt werden kann
und der Zylinder danach nur noch rollt ohne zu gleiten, wie im vorigen Beispiel diskutiert
wurde. Setzen wir v s und ω in die Rollbedingung ein, ergibt sich
(
)
µMga cosα
g(µ G cos α − sin α)T k = a ω ◦ − T k .
I s
Daraus folgt T k =
aω ◦
g(µ G cos α − sin α) + µ G Mga 2 cos α/I s
.
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