Physik A Teil 1: Mechanik - Physik-Institut - Universität Zürich

für das mathematische Pendel bei kleinen Auslenkungen ϕ (Kap. 3.6.2). Gleichung (57)
kann also für alle x durch den harmonischen Ansatz
x(t) = A cos(ω ◦ t − δ) mit der Kreisfrequenz ω ◦ =
√k/m = 2πν ◦ = 2π
T
(58)
gelöst werden. ν ◦ ist die Frequenz und T die Schwingungsdauer der harmonischen Schwingung.
Amplitude A und Phasenkonstante δ sind wie beim Pendel durch die
x
T
Anfangsbedingungen z.B.
( ) dx
A
x(t = 0) = x ◦ , = v ◦ festgelegt.
dt
t=0
t
√
δ
( ) v◦ 2, v
ωο
Man erhält A = x 2 ◦
◦ + tanδ = .
ω ◦ x ◦ ω ◦
Im Hinblick auf eine mathematisch vereinfachende Behandlung [vgl. Kap.7.2 Gl.(62),
Kap.7.4 Gl.(76) und Anhang C.1.2] wollen wir uns überzeugen, dass die Gleichung (57)
auch mit einer Exponentialfunktion
z = x + iy = C e iωt = C(cosωt + i sin ωt) (59)
gelöst werden kann, in der z eine komplexe Grösse ist. Selbstverständlich ist die gemessene
Auslenkung des Oszillators eine reelle Grösse nämlich der Realteil von z:
R(z) = R(Ce iωt ) = x.
Der Imaginärteil I(z) = y ist nur eine mathematische Hilfsgrösse, die hier ohne physikalische
Bedeutung ist und nur der einfacheren komplexen Schreibweise von z dient. Wir
setzen den Ansatz Gl. (59) in Gl. (57) ein und erhalten:
−ω 2 Ce iωt = − k √
m Ceiωt oder ω = ± k/m = ±ω ◦ .
Es gibt also zwei Lösungen: z 1 = C 1 e iω◦t und z 2 = C 2 e −iω◦t .
Da die Gleichung (57) linear ist, ist ihre allgemeine Lösung die Linearkombination
z = z 1 + z 2 = C 1 e iω◦t + C 2 e −iω◦t (60)
mit den beiden Integrationskonstanten C 1 und C 2 . Diese werden durch die
Anfangsbedingungen festgelegt, für welche wir wieder x(t = 0) = x ◦ ,
( ) dx
= v ◦
dt
t=0
wählen. Die Grössen C 1 und C 2 sind jetzt allerdings komplex! Einsetzen in Gl. (60) ergibt
C 1 + C 2 = x ◦ und iω ◦ C 1 − iω ◦ C 2 = v ◦ . Daraus berechnet man 55
C 1 = 1 2
(
x ◦ − i v ◦
ω ◦
)
und als komplexe Lösung von Gl. (57) z = 1 2
und C 2 = 1 2
(
x ◦ + i v ◦
ω ◦
)
= C ∗ 1
{(
x ◦ − i v ◦
ω ◦
)
e iω◦t +
55 C ∗ 1 = a − ib ist das konjugiert komplexe von C 1 = a + ib [Anhang C.1.2].
(
x ◦ + i v ◦
ω ◦
)
e −iω◦t }
=
65