Physik A Teil 1: Mechanik - Physik-Institut - Universität Zürich

8.5 Trägheitseffekte auf der Erde
In den vorausgegangenen Beispielen spielte der Hörsaal und damit die Erde die Rolle des
ruhenden Systems. Diese Wahl führte zu keinen Widersprüchen mit der Erfahrung, obwohl
die Erde ein bewegtes Bezugssystem ist. Der Grund liegt darin, dass auf der Erde Z und
C viel kleiner als mg sind. Es können aber terrestrische Versuche ausgeführt werden, die
eindeutig die Trägheitseffekte als Folge des Bewegungszustandes der Erde zeigen.
8.5.1 Nachweis der Erdrotation mit dem Foucaultpendel
N
Ein schwingendes Pendel behält infolge der Trägheit seine
Schwingungsebene im Raum bei. Dieses eigentümliche
m
Verhalten offenbart sich beim Foucault-Versuch (1850/51
ω → ω →
S
β
in Paris). Ein Ort auf der Erde mit der geographischen
Breite β rotiert mit der Winkelgeschwindigkeit ω ·sin β um
eine zur Erdoberfläche senkrechte Achse; mit dieser Winkelgeschwindigkeit
dreht sich die Erde unter dem schwingenden
Pendel hinweg. Die effektive Umlaufszeit der Horizontalebene
relativ zur Schwingungsebene des Pendels in
der geographischen Breite β ist
T = 2π/ω sin β mit ω = 2π/24 Stunden.
Zur Berechnung wurde hier der axiale Vektor ⃗ω in die Komponenten senkrecht ω ⊥ und
parallel ω ‖ zur Erdoberfläche bei der geographischen Breite β zerlegt 63 .
Für Zürich mit β ≈ 47 ◦ ist T = 34 h, am Pol: T = 24 h und am Äquator: T = ∞.
8.5.2 Eine Lotabweichung infolge der Erdrotation
erfährt eine Masse m auf der Erde durch eine von der Erdachse fortgerichtete Zentrifugalkraft
⃗ Z vom Betrage Z = mω 2 R cos β.
Zusammen mit dem Gewicht G ◦ = mg ◦ , das m bei nicht rotierender Erde hätte, ergibt
sich ein effektives Gewicht ⃗ Geff = ⃗ G ◦ + ⃗ Z, das nicht zum Erdmittelpunkt zeigt.
R
N
→
ω
→
G o
β
m
δ
Daraus folgt
→
Z
→
G eff
Der Kosinussatz liefert G eff = mg eff =
=
√
(mg ◦ ) 2 + (mω 2 R cos β) 2 − 2mg ◦ mω 2 R cos 2 β
oder g eff =
√
≃ g ◦
√
g 2 ◦ + (cos 2 β)(ω 4 R 2 − 2g ◦ ω 2 R)
(
1 − 2ω2 R cos 2 β
≃ g ◦ 1 − ω2 R cos 2 )
β
g ◦ g ◦
da gilt ω 2 R = 0.034m/s 2 ≪ g = 10m/s 2 .
∆g
g ◦
= g ◦ − g eff
g ◦
= ω2 R cos 2 β
g ◦
= 3.43 × 10 −3 cos 2 β.
63 Man beachte, dass ⃗ω als axialer Vektor in eine Horizontal- und eine Vertikalkomponente zerlegt werden
kann. Die Pendelebene bleibt bei der Drehung im Raum S erhalten, es gilt die Drehimpulserhaltung und
die Drehung ist direkt durch ω ⊥ gegeben. Es gilt für die Corioliskraft
⃗C = 2m(⃗v r × ⃗ω) = 2m(⃗v r × ω ⊥ + ⃗v r × ω ‖ ) wobei nur der erste Term zu einer Auslenkung führt.
Ein Drehwinkel könnte nur bei infinitesimal kleinen Drehungen und nicht bei endlichen Drehungen in
Komponenten zerlegt werden.
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