Physik A Teil 1: Mechanik - Physik-Institut - Universität Zürich

a
F 2
e
r =
r'
L2 ◦
ΓmMµ ·
1
√ , die Bahnkurve des Planeten. (54)
1 + cosϕ 1 + 2E◦L2 ◦
Γ 2 µm 2 M 2
Mit den Abkürzungen p = L2 ◦
ΓmMµ ,
P
b
r
F 1
ϕ
erhalten wir aus Gl. (54) r =
√
ε = 1 + 2E ◦L 2 ◦
(55)
Γ 2 µm 2 M 2
p
1 + ε cos ϕ . (56)
Dies ist die Gleichung eines Kegelschnittes in Polarkoordinaten
(Polargleichung), wenn der eine Brennpunkt
der Pol ist, von dem aus r gemessen wird, und
ϕ von dem Scheitel aus gerechnet wird, der dem Pol
am nächsten liegt.
Mit der Definitionsgleichung der Ellipse folgt aus Gl. (56) r + r ′ = konst. = 2a und
aus dem Kosinussatz r ′2 = r 2 + 4e 2 + 4er cos ϕ. Indem man r ′ eliminiert, ergibt sich 53
r =
b 2 /a
1 + e/a cos ϕ
mit e 2 = a 2 − b 2
b 2 /a = p nennt man den Parameter oder Scheitelkrümmungsradius und e/a = ε die
numerische Exzentrizität der Ellipse und es gilt ε = √ a 2 − b 2 /a.
Die einzelnen Kegelschnitte werden durch die Werte von ε unterschieden. Aus Gl. (55)
folgt der zugehörige Wert der Gesamtenergie E ◦ . Wir erhalten folgenden Zusammenhang:
53 Mit etwas mehr Aufwand kann die Bahnkurve auch direkt aus der Bewegungsgleichung durch Integration
bestimmt werden.
m 1¨⃗r = ˙⃗p = −Γ
m 1 m 2
r 3 ⃗r multipliziert mit × ⃗ L und berücksichtigt das dreifache Vektorprodukt
und mit
˙⃗p × ⃗ L
} {{ }
= d dt (⃗p × ⃗ L)
= −Γ m 1m 2
r 3
⃗r × L
} {{ ⃗ = −Γ m 1m 2
} r 3 [⃗r · (⃗r · ⃗p) − ⃗p · r 2 ]
} {{ }
⃗r × (⃗r × ⃗p) ⃗r · (⃗r · m˙⃗r) − m˙⃗r · r 2
( )
d ⃗r
= ˙⃗r
dt r r + ⃗r d ( ) 1
√ = ˙⃗r · ˙⃗r
− ⃗r⃗r
dt ⃗r
2 r r 3 = 1 r 3 [˙⃗rr 2 − ⃗r · (⃗r · ˙⃗r)] für das Dreifachprodukt
⇒
d dt (⃗p × ⃗ L) = Γm 2 1m 2
d
dt
( ⃗r
r
)
⇒ ⃗p × ⃗ L = Γm 2 1m 2
⃗r
r + ⃗ C
⃗C ist als Integrationskonstante der Lenzsche Vektor, der in der festen Bewegungsebene liegt. Multipliziert
man die Gleichung mit ⃗r und setzt p = L 2 /Γm 2 1m 2 und ε = C/Γm 2 1m 2 , erhält man:
⃗r · (⃗p × ⃗ L) = ⃗ L · (⃗r × ⃗p) = ⃗ L · ⃗L = L 2 = Γm 2 1m 2 r
} {{ }
⃗r · ⃗r
r
= r2
r
+ ⃗r · ⃗C }{{}
rC cos ϕ
⇒ r =
p
1 + ε cos ϕ .
in Übereinstimmung die Fokaldarstellung der Kegelschnitte Gl. (56).
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