Physik A Teil 1: Mechanik - Physik-Institut - Universität Zürich

m
→
mg
F →
l
α
ρ
z
→
ω
Für welche Winkel α ist eine solche Bewegung möglich?
Wiederum wirken nur die Kräfte ⃗ G und ⃗ F, welche folgende Bedingungen
erfüllen müssen:
Tangentialkraft: F T = 0 weil ω = konst,
Zentripetalkraft (Bedingung mρω 2 für die Kreisbahn):
F N = F sin α = mρω 2 = mlω 2 sin α,
Kraft parallel zur z-Achse: F z = F cos α − mg = 0.
α erfüllt also die Bedingung tanα = l g ω2 sin α.
Die Lösungen sind 39 α = 0 (25) und cos α = g
lω 2 für α ≠ 0. (26)
π/2
α
Da cosα ≤ 1, gilt die Lösung (26) nur dann, wenn
stabil
√
g
g
lω ≤ 1 bzw. ω ≥ ω 2 kritisch = ω k =
l .
stabil labil Es gibt also für ω ≤ ω k nur eine Lösung: α = 0.
0
Für ω ≥ ω k sind 2 Lösungen möglich, von denen
0 1 2 3 ω
ω jedoch α = 0 instabil ist.
k
Falls sich das Pendel im Zustand α = 0 mit ω > ω k befindet, wird es durch eine kleine
Störung in den stabilen Zustand α > 0 gebracht.
Der unstetige Übergang von der 1. stabilen Lösung zur 2. stabilen Lösung bei der
kritischen Winkelgeschwindigkeit ω k ist ein mechanisches Beispiel für einen Phasenübergang
1. Ordnung (vgl. S. 83). Andere Beispiele für Phasenübergänge 1. Ordnung sind:
Aggregatzustände Wasser-Eis, Metallstrukturen, Ordnung-Unordnungübergänge im Magnetismus,
Supraleitung, Flüssigkristalle (LCD) u.a. Bei Phasenübergängen 2. Ordnung
beobachtet man stetige Übergänge bei Änderung eines Parameters (z.B. Temperatur).
3.7 Prinzip des Raketenantriebs
Wir betrachten eine Rakete, die sich durch Ausstossen von Masse beschleunigen kann.
Um die Bewegung der Rakete, speziell die Zeitabhängigkeit ihrer Geschwindigkeit ⃗v(t) zu
untersuchen, gehen wir nicht vom Aktionsprinzip, sondern vom Impulssatz für ein System
von Massenpunkten aus: F ⃗
d⃗p =
dt .
⃗F ist eine äussere Kraft (z.B. Gravitationskraft) auf das System, das aus der Rakete
und den ausgestossenen Gasen besteht, und ⃗p(t) ist der Gesamtimpuls dieses Systems.
Wir betrachten das System zu zwei aufeinander folgenden
✲ ⃗v
Zeitpunkten t und t + dt. Im Zeitintervall dt wurde die
◗
t dm M
✑ Gasmenge dm mit einer Relativgeschwindigkeit ⃗u bezüglich
der Rakete ausgestossen, in der Rakete bleibt die Masse
M. Die Geschwindigkeit der Rakete selbst wird von ⃗v auf
◗
t+dt dm M
✑ ⃗v + d⃗v erhöht, gemessen in einem Inertialsystem. Somit ist
der Impuls zur Zeit t : ⃗p(t) = (M + dm)⃗v,
⃗v + d⃗v + ⃗u ⃗v + d⃗v und t + dt : ⃗p(t + dt) = M(⃗v + d⃗v) + dm(⃗v + d⃗v + ⃗u).
39 Vorsicht: Wenn man in sinα/cos α = l g ω2 sinα den Term sin α “kürzt”, verliert man diese Lösung
α = 0.
37