Physik A Teil 1: Mechanik - Physik-Institut - Universität Zürich

⃗v(t) ✲ ✲ d⃗v a) ⃗v ändert sich nur im Betrag und nicht in der Richtung. Dann
ist d⃗v‖⃗v, also ⃗a‖⃗v, d.h. die Beschleunigung ist auch tangential zur
⃗v(t + dt) ✲ Bahn.
b) ⃗v ändert sich nur in der Richtung und nicht im Betrag. Durch
⃗v(t) ✲ Differenzieren des Skalarproduktes ⃗v · ⃗v erhalten wir:
❳ ❳❳❳
❳ ❳ d⃗v
❳3❄
⃗v(t + dt)
d d⃗v
(⃗v · ⃗v) = ⃗v ·
dt dt + d⃗v d⃗v
· ⃗v = 2⃗v ·
dt dt = 0.
Da aber ⃗v ·⃗v = v 2 = konst, so folgt 2⃗v · d⃗v = 0, d.h. d⃗v ⊥ ⃗v. Die Beschleunigung steht
dt
also senkrecht zur Bahn. Obwohl hier der Betrag der Geschwindigkeit konstant ist, tritt
wegen der Richtungsänderung eine Beschleunigung auf. |d⃗v| ist nicht gleich d|⃗v|!
c) Im allgemeinen Fall steht ⃗a weder parallel noch senkrecht zu ⃗v und ⃗a besitzt also
eine Komponente a tang parallel zu ⃗v (tangential zur Bahn) und eine Komponente a norm
senkrecht zur Bahn.
d) Jede krummlinie Bewegung ist eine beschleunigte Bewegung.
1.4 Komponentendarstellung von Geschwindigkeit und Beschleunigung
Die Vektorschreibweise von physikalischen Beziehungen gestattet eine einfache und kompakte
Darstellung, die ferner, wie wir noch sehen werden, auch Symmetriebeziehungen und
Transformationseigenschaften besser erkennen lässt 12 . Für numerische Zwecke müssen wir
jedoch Vektoren in ihre Komponenten in einem geeigneten Koordinatensystem zerlegen.
Wir behandeln 3 Beispiele.
1.4.1 Raumfestes kartesisches xyz-Koordinatensystem
mit zeitunabhängigen Einheitsvektoren ⃗i, ⃗j, ⃗ k. Aus dem Ortsvektor
⃗r(t) = x(t)⃗i + y(t)⃗j + z(t) ⃗ k
erhält man durch Differentiation die Geschwindigkeit
⃗v(t) = d⃗r
dt = dx
dt ⃗ i + dy
dt ⃗ j + dz
dt ⃗ k = v x (t)⃗i + v y (t)⃗j + v z (t) ⃗ k
und die Beschleunigung
⃗a(t) = d⃗v
dt = dv x
dt ⃗ i + dv y
dt ⃗ j + dv z
dt ⃗ k = d2 x
dt 2⃗ i + d2 y
dt 2⃗ j + d2 z
dt 2⃗ k = a x (t)⃗i + a y (t)⃗j + a z (t) ⃗ k (1)
z
✻
⃗r ✟✯
❢ ✟ ✟✟✟✟
✠
x
✲ y
Die Beträge dieser Vektoren sind dann
√
|⃗r| = r = x 2 + y 2 + z 2 (2)
)
√ 2 ( ) 2 ( ) 2
√( dx dy dz
|⃗v| = v = + + (3)
dt dt dt
)
√ 2 ( ) 2 ( ) 2
√(
d2 x d2 y d2 z
|⃗a| = a = + + (4)
dt 2 dt 2 dt 2
12 Vektoranalysis = Differentialrechnung im 3-dimensionalen oder n-dimensionalen Raum.
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