Physik A Teil 1: Mechanik - Physik-Institut - Universität Zürich

dF ◦x = −[p(x + dx) − p(x)]dA ⇒
}{{}
1/dτ
− ∂p
∂x = dF ◦x
dτ
= f ◦x für alle Komponenten ⃗ f ◦ = −∇p
Mit dem Newtonschen Prinzip erhält man nun die Bewegungsgleichung für das
Volumenelement dτ
dm d⃗v
dt
= ρdτ
d⃗v
dt = d⃗ F = d ⃗ F τ + d ⃗ F ◦ = ( ⃗ f − ∇p)dτ
und damit
ρ d⃗v
dt = ⃗ f − ∇p die Eulersche Bewegungsgleichung. (155)
Die Eulersche Bewegungsgleichung entspricht also dem Newtonschen Prinzip, angewendet
auf eine bewegte Flüssigkeit. Allgemein ist ⃗v = ⃗v(x,y,z,t) und ⃗v ändert sich mit der
Zeit und der Position. Für eine stationäre Strömung ist jedoch ⃗v allein durch die Ortsabhängigkeit
gegeben ⃗v = ⃗v(x,y,z) unabhängig von t und das totale Differential d⃗v wird dt
nur durch die Ortskoordinaten ausgedrückt.
So gilt z.B. als Vorübung für den freien Fall im Gravitationsfeld mit v z = v z (z,t) für
das totale Differential nur für die z-Abhängigkeit der stationären Strömung mit ∂vz = 0
∂t
dv z = ∂v z
∂z dz + ∂v z
∂t dt also dv z
dt = ∂v z dz
∂z dt + ∂v z dt
∂t dt = ∂v z
∂z v z + ∂v z
∂t = ∂v z
∂z v z
d
und mit Newton’s Aktionsprinzip
dt (mv z) = mg = m dv z
⇒
dv z
dt dt = g = ∂v z
∂z v z
Für den allgemeinen stationären Fall ist dann mit Gl.(155) und ⃗v = ⃗v(x,y,z)
ρ dv [
x(x,y,z)
dt
=ρ ∂vx
∂x dx
dt + ∂v x
∂y dy
dt + ∂v x
∂z dz
]
dt
=f x −
∂x ∂p ; x-Komp.
ρ dv [
y(x,y,z) ∂vy
dt
=ρ
∂x dx
dt + ∂v y
∂y dy
dt + ∂v y
∂z dz
]
dt
=f y −
∂y ∂p ; y-Komp.
ρ dv [
z(x,y,z)
dt
=ρ ∂vz
∂x dx
dt + ∂v z
∂y dy
dt + ∂v z
∂z dz
]
dt
=f z −
∂z ∂p ; z-Komp.
Dies ist eine komplizierte Differentialgleichung, die für den Spezialfall, dass sich die
Geschwindigkeit durch ein Geschwindigkeitspotential ⃗v = −∇Φ ableiten lässt, vereinfacht
werden kann. Das Geschwindigkeitspotential ist offenbar möglich für den stationären Fall,
bei dem jedem Ort eine eindeutige Geschwindigkeit zugeordnet werden kann. Dann ist
dx
= v dt x = − ∂Φ,
v ∂x y = − ∂Φ und v ∂y z = − ∂Φ und für die x-Komponente gilt dann105
∂z
ρ
( ∂ 2 Φ ∂Φ
∂x 2 ∂x + ∂2 Φ ∂Φ
∂x∂y ∂y + ∂2 Φ
∂x∂z
)
∂Φ
∂z
= ρ [ (
∂ ∂Φ
2 ∂x ∂x
) 2
} {{ }
vx+
2
( ∂Φ
+
∂y
) 2
} {{ }
vy+
2
) 2
( ] ∂Φ
+ = ρ ∂
∂z 2 ∂x v2 = f x − ∂p
∂x
} {{ }
vz 2 = v 2
und entsprechend für die y- und z-Komponenten. Nimmt man eine konservative Kraftdichte
mit f ⃗ = −∇V ′ und damit für die x-Komponente f x = − ∂V ′
, dann erhält man106
∂ ρ
∂x 2 v2 + ∂
∂x V ′ + ∂
∂x p = 0 = ∂ ( ρ
∂x 2 v2 + V ′ + p)
105 mit der Identität 1 ∂
[ ( ) 2
∂Φ ]
= ∂Φ
2 ∂x ∂x ∂x · ∂2 Φ
∂x 2
106 für eine nichtkompressible Flüssigkeit mit ρ =konst. Die Ableitung der Konstanten ist null.
∂x
145