Physik A Teil 1: Mechanik - Physik-Institut - Universität Zürich

Phasenraumdarstellung der Pendelbewegung †
Der Phasenraum 38 ist ein fiktiver Raum der Bewegung eines Systems mit den Basisvektoren
z.B. Ort ⃗r und Geschwindigkeit ⃗v oder Winkel ϕ und Winkelgeschwindigkeit ˙ϕ. Im
Allgemeinen sind dies 6 Dimensionen; das ebene Pendel kann mit nur zwei Variablen ϕ(t)
und ˙ϕ(t) beschrieben werden, die in Abhängigkeit von der Zeit eine Bahn im Phasenraum
beschreiben.
Für das Pendel gilt allgemein auch für grosse Winkel [S.35]
˙ϕ 2 = 2 g l cosϕ + C 1 mit C 1 = −2 g l cos ϕ ◦ aus ˙ϕ[ϕ(t = 0) = ϕ ◦ ] = 0 . (24)
Der Phasenraum ist damit mit Gl. (24) beschrieben
√
˙ϕ(ϕ) = 2c(cos ϕ − cosϕ ◦ ) mit c = g l = ω2 .
Für kleine Winkel 1 ≫ ϕ ◦ ≥ ϕ gilt mit einer Reihenentwicklung von cosϕ
˙ϕ = √ 2c √ cos ϕ − cos ϕ ◦ ≈ √ √
2c 1 − ϕ2
2 ... − 1 + ϕ2 ◦
2 ... = √ √
c ϕ 2 ◦ − ϕ 2 .
Dies ist im Phasenraum ˙ϕ, ϕ eine Kreisgleichung mit dem Radius ϕ ◦
˙ϕ/ √ c
2
π
4
π
2
Rotation
Pendelbewegung
π
ϕ
˙ϕ 2
c + ϕ2 = ϕ 2 ◦ .
In der Figur ist der Phasenraum
für kleine Winkel
mit den Anfangsbedingungen
ϕ ◦ = π/4, π/8 dargestellt
(Kreise). Für grössere
Winkel ϕ ◦ = π, π/2 ist
Gl. (24) benutzt worden; im
Extrempunkt ϕ = ϕ ◦ = π,
˙ϕ = 0 steht das Pendel still.
Die Pendelbewegung wird
im Phasenraum als eine Rotation
dargestellt.
Für eine Anfangsbedingung ˙ϕ(ϕ ◦ = 0)/ √ c > 2 geht die Pendelbewegung in eine Rotation
über, die im Phasenraum durch eine Oszillation mit fortschreitendem ϕ dargestellt
ist.
Der Phasenraum eines Systems ist eine Konstante, hier die durch ˙ϕ und ϕ aufgespannte
Fläche, so kann ϕ nur auf Kosten von ˙ϕ verändert werden. In der Optik von Licht oder
der Optik von Teilchenstrahlen wird dieser Sachverhalt durch den Liouvilleschen Satz
formuliert: In einem optischen System ist der Phasenraum konstant. So kann z.B. ein
Brennfleck nur auf Kosten einer vergrösserten Divergenz verkleinert werden.
3.6.3 Kreispendel (konisches Pendel)
Der Pendelfaden beschreibt den Mantel eines Kreiskegels, die Masse m soll sich auf einer
Kreisbahn um die z-Achse mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω bewegen.
38 S.Brandt, H.D.Dahmen, Physik Bd.1 Mechanik, Springer 1977 S.83
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