Physik A Teil 1: Mechanik - Physik-Institut - Universität Zürich

v
v o
t
Ist die Fallhöhe h, so beträgt die Fallzeit T = √ 2h
g .
T ist unabhängig vom Material und der Masse des frei fallenden
Körpers. Dies ist die Folge der Gleichheit von schwerer und träger
Masse.
3.2 Die Atwoodsche Fallmaschine
Im Vergleich zum freien Fall kann mit dieser Maschine der Bewegungsablauf
verlangsamt werden, die Resultate lassen sich deshalb
leichter quantitativ beobachten und prüfen.
Annahmen: Das die beiden Massen m 1 und m 2 verbindende Seil
sei völlig flexibel, habe eine konstante Länge und eine gegenüber
|m 1 − m 2 | vernachlässigbare Fadenmasse m F . Es wird über die
sich reibungsfrei drehende Rolle gelegt, deren Masse ebenfalls vernachlässigt
wird. Nach unserem Rezept zerlegen wir das gesamte
System in die drei Teilsysteme mit den Massen m 1 , m 2 und m F .
1. Da die Fadenlänge konstant ist, ist f = 1.
✛✘
⃗F 1
′ ⃗F
✚✙2
′
❄ ❄
✻ F2 ⃗ ⃗F ✻ 1
z ❄
❄
❄ m 2⃗g
m 1 ⃗g
h
❄ ❄x 1 ❄x 2
2. Wir legen die x-Achse in vertikale Richtung. Sind x 1 und x 2 die Koordinaten der
beiden Massen, so gilt offenbar dx 1 = −dx 2 und folglich d2 x 1
dt 2 = − d2 x 2
dt 2 .
3. Auf m 1 und m 2 wirken die Gewichte ⃗ G 1 und ⃗ G 2 und die vom Faden ausgeübten
Oberflächenkräfte ⃗ F 1 und ⃗ F 2 .
Nach dem Reaktionsprinzip wirken dann auf den Faden die Kräfte ⃗ F ′ 1 = − ⃗ F 1 und
⃗F ′ 2 = − ⃗ F 2 . Diese Kräfte wirken beschleunigend in der x-Richtung, im Gegensatz zu
den von der Rolle ausgeübten Normalkräften.
4. Bewegungsgleichung für den Faden: m F a x = F ′ 1 − F ′ 2.
Weil wir m F = 0 annehmen, muss F ′ 1 = F ′ 2 und somit F 1 = F 2 = F sein.
Folglich lauten die Bewegungsgleichungen für die beiden Massen in den beiden
Koordinatensystemen: m 1
d 2 x 1
dt 2 = m 1 g − F und m 2
d 2 x 2
dt 2 = m 2 g − F. (16)
Hieraus folgt durch Subtraktion, wenn wir noch d2 x 1
= − d2 x 2
dt 2 dt 2
beachten:
d 2 x 1
dt 2 = m 1 − m 2
m 1 + m 2
g. (17)
Die effektiv beschleunigende Kraft ist die Differenz der beiden Gewichte, welche die
totale Masse m 1 + m 2 in Bewegung versetzt.
5. Integration: x 1 (t) = g 2 m 1 − m 2
m 1 + m t 2 + C 1 t + C 2 , Dies ist das Fallgesetz mit der
2
reduzierten Beschleunigung g eff = g · m1−m 2
m 1 +m 2
6. Anfangsbedingungen: x 1 (t = 0) = x 10 = C 2 , v 1 (t = 0) = v 10 = C 1
Endresultat: x 1 (t) = g 2 m 1 − m 2
m 1 + m 2
t 2 + v 10 t + x 10
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