Physik A Teil 1: Mechanik - Physik-Institut - Universität Zürich

v
✻
◗ ◗ a · ω
◗
◗
◗
◗
v s
✟ ✟✟✟✟✟✟ ✲
T k t
Speziell für einen Vollzylinder wird
T k =
aω ◦
g(3µ G cos α − sin α) .
Die zugehörige kritische Winkelgeschwindigkeit ist
ω k = ω ◦
(1 −
)
2µ G
.
3µ G − tanα
9.7 Die kinetische Energie bei ebener Translation und Rotation
Ein Körper der Masse M führe eine ebene Bewegung aus, d.h. alle Geschwindigkeiten
(und auch ⃗v s des Schwerpunktes) liegen parallel zu einer xy-Ebene und der Winkelgeschwindigkeitsvektor
⃗ω steht senkrecht zur Ebene. Die Geschwindigkeit eines beliebigen
Massenelements dM ist dann ⃗v = ⃗v s + ⃗ω × ⃗r ′ , und seine kinetische Energie ist
z
→
v
. r
dT = dM 2 v2 = dM 2
[
v
2
s + 2⃗v s (⃗ω × ⃗r ′ ) + (⃗ω × ⃗r ′ ) 2] .
y
S
ω → →
ϕ
r
dM
→
v s
Es ist |⃗ω × ⃗r ′ | = ωr ′ sin ϕ = ωr ⊥ , also
(⃗ω × ⃗r ′ ) 2 = ω 2 r 2 ⊥, r ⊥ ist der Abstand des Elements
dM von der Drehachse. Die totale kinetische Energie
wird mit Integration über den ganzen Körper:
x
T = 1 ∫
2 Mv2 s + ⃗v s (
⃗ω × ⃗r ′ dM) + 1 2 ω2 ∫
r 2 ⊥ dM
Der mittlere Term verschwindet, weil ∫ ⃗r ′ dM = 0 auf Grund der Definition des Schwerpunktes.
Im 3. Term stellt das Integral das Trägheitsmoment dar. Wir haben somit:
T = 1 2 Mv2 s + 1 2 I sω 2
die kinetische Energie bei der ebenen Bewegung.
Es gilt E-Erhaltung konservativer Kräfte:
T Trans + T Rot + V = E tot = konst.
Rotiert der Körper speziell um eine starre Achse im Abstand d von S, so ist v s = ωd, also
nach dem Satz von Steiner
T = M 2 ω2 d 2 + I s
2 ω2 = I ◦
2 ω2 .
Im allgemeinen Fall kann die kinetische Energie in einen Translationsanteil T T und einen
Rotationsanteil T R zerlegt werden. Für den letzteren gilt mit dϕ = ωdt
( ) 1
dT R = d
2 I sω 2 = I s ω dω
dt dt = M szdϕ,
denn M sz = I s
dω
dt
ist die z-Komponente des Drehmomentes bezüglich S. Also folgt durch
Integration
∫
(T R ) 2 − (T R ) 1 = 2 M sz dϕ.
1
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