Physik A Teil 1: Mechanik - Physik-Institut - Universität Zürich

alle Spannungen auf das gleiche Flächenelement bezogen werden, darf man die zugehörigen
Kräfte wie Vektoren addieren.
Normal- und Schub-Spannungen in einem gegebenen Punkt innerhalb eines elastischen
Körpers hängen von der Orientierung des Flächenelements ab. Wir werden zeigen,
dass man σ und τ für ein dA von beliebiger Orientierung berechnen kann, wenn man
die Spannungen von solchen Elementen kennt, die zueinander senkrecht stehen. Aus den
Spannungsbeziehungen in jedem Punkt des Körpers kann dann die Deformation mit empirischen
Gesetzen gefunden werden.
Wir behandeln nur den ebenen Spannungszustand: alle zu den Spannungen
gehörende Kräfte sind parallel zu einer Ebene, z.B. der xy-Ebene.
z ✻
✚ Zur Analyse dieses Zustandes denken wir uns einen Quader mit
dz P den Kanten dx,dy,dz um den Punkt P herausgeschnitten. Die
✓ dy Spannungen, die wir zur Erhaltung des Gleichgewichtes am Quader
anbringen müssen, charakterisieren wir durch 2 Indizes:
y dx
✒ spannungsfreie Ebene
✲ 1. Index: Richtung der Normalen von dA
x 2. Index: Richtung der Kraft.
τ
✛ yx ✻ σ y Da für die Normalspannungen Normalen- und Kraftrichtung zusammenfallen,
schreiben wir kurz σ x = σ xx ,σ y und σ z . Da der
y ✻
τ
✛ xy ✻P
σ
✲ x
σ Quader ein infinitesimal kleines Volumen hat, können wir sein
x ❄τ xy
✲ Gewicht gegenüber den Spannungskräften vernachlässigen. Dann
σ y ❄τ yx ✲ verlangt der Schwerpunktssatz, dass die Spannungen an zwei gegenüberliegenden
Flächen entgegengesetzt gleich sind.
x
Ferner müssen im Gleichgewicht die Drehmomente verschwinden (z.B. bezüglich P):
2(τ xy dzdy) dx 2 = 2(τ yx dxdz) dy 2 , also τ xy = τ yx .
Da der Spannungszustand eben sein soll, muss τ xz = 0 und τ zx = 0 sein, weil sonst ein
Drehmoment auf den Quader ausgeübt würde. Analog gilt τ yz = τ zy = 0. Ferner muss
noch σ z = 0 sein 93 .
.
y
dy
dz
.
Der ebene Spannungszustand ist somit in jedem Punkt
durch drei unabhängige Spannungen gegeben: σ x ,σ y ,τ xy .
dA
α
dx
ds
x
Sind σ x ,σ y und τ xy für einen ebenen Spannungszustand bekannt,
so können daraus leicht die Spannungen σ und τ bezüglich eines
beliebig gestellten Flächenelements dA bestimmt werden. Wird z.B.
angenommen, dass dA senkrecht zur spannungsfreien Ebene steht,
so ist dA = dsdz, dx = ds sin α, dy = ds cos α.
Aus den Gleichgewichtsbedingungen folgt
ds n
τ xy
yσ x
τ xy
σ y
α
σ
τ
t
a) für die Tangentialrichtung t:
τdsdz + τ xy ds sin αdz sin α + σ y ds sin αdz cosα
−τ xy ds cos αdz cos α − σ x ds cosαdz sin α = 0 also
x
τ = (σ x − σ y ) sin α cosα + τ xy (cos 2 α − sin 2 α). (140)
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