Physik A Teil 1: Mechanik - Physik-Institut - Universität Zürich

instabil für a 2 < 0 ⇒ I 1 < I 3 < I 2 führt ω 1 exponentiell von einer zunächst reinen
Rotation um die Hauptachse 3 weg ins Torkeln.
Die Hauptachsen mit dem grössten und dem kleinsten
Trägheitsmoment sind stabile Drehachsen.
Anschauliche Betrachtung dieser Stabilitätsbedingungen: Bei gleicher kinetischer Rotationsenergie
1 2 Iω2 entspricht die Rotation um die Hauptachse mit dem maximalen (minimalen)
Trägheitsmoment dem minimalen (maximalen) ω, d.h. ω kann bei erhaltener
Energie der Rotation nicht mehr in beide Richtungen verändert werden.
Ein anderes Stabilitätsbeispiel ist das Problem des Lassowerfers: Das Lasso klappt
beim Drehen zu einem Stab zusammen, da das Trägheitsmoment für den Stab mit der
Länge l kleiner ist als für einen Kreis mit dem Umfang 2l also I Stab = 1
12 ml2 < I Kreis =
1
ml 2 . Man muss deshalb beim Lassowerfen die Anfangsbedingungen besser wählen und
π 2
das Lasso steifer machen.
9.8.4 Symmetrischer Kreisel im Schwerefeld (Präzession)
z
✻
⃗r s ‖ ⃗ω ‖ L ⃗ ◦
❅
✒
❅
❅
✒ ❅
α
⃗r s ❄G
⃗ ❝
Wir kehren zum symmetrischen Kreisel zurück. Der Kreisel sei jetzt
aber nicht mehr im Schwerpunkt unterstützt, so dass das Gewicht ein
Drehmoment ⃗ M ◦ = ⃗r s × ⃗ G ausübt und folglich ⃗ L ◦ nicht mehr konstant
ist. Die daraus resultierende Bewegung der Drehimpulsachse nennt
man Präzession. Zur Vereinfachung nehmen wir an, die Figurenachse,
Drehachse und Drehimpulsachse fallen zusammen und ⃗r s liege in
der Figurenachse.
Es ist also ⃗ L◦ ‖ ⃗ω ‖ ⃗r s .
Ferner sei ω 3 sehr gross 85 . Dann sind wir nicht mehr auf die Euler-Gleichungen angewiesen,
sondern können den Drehimpulsatz
⃗ M◦ = ⃗r s × ⃗ G = d⃗ L ◦
dt
benützen.
L◦ ⃗
❄ präzessiert auf einem Kegelmantel, dem Präzessionskegel, um die
dL ⃗ ◦
❄ z-Achse. L ⃗ ◦ ist also ein Vektor, der im Relativsystem (Hauptachse)
⃗M ◦
konstant ist und im Absolutsystem nur seine Richtung aber nicht seinen
❜ ✠
✲
Da M ⃗ ◦ senkrecht zu L ⃗ ◦ aber parallel zu dL ⃗ ◦ steht, muss dL ⃗ ◦ senkrecht
auf L ⃗ ◦ stehen. Dieser Sachverhalt gilt für jeden Augenblick, also
muss sich die Spitze des L ⃗ ◦ -Vektors auf einem Kreis bewegen, L ⃗ ◦ selbst
Betrag ändert.
→
→
dL o
ω p
Für ihn gilt dann nach Gl. (88) in Kapitel 8.2
→
L o
α
⃗M ◦ = d⃗ L ◦
dt
= ⃗ω p × ⃗ L ◦ .
ω p nennt man Präzessions-Kreisfrequenz. Der Drehimpulsvektor
weicht also der angreifenden Kraft ⃗ G aus.
85 Der Grund für diese Annahme wird mit Gl. (135) klar.
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