Physik A Teil 1: Mechanik - Physik-Institut - Universität Zürich

◦
❆
❆
ϕ❆
l
❆❑ ❆
❆
r r ✲
F
∗
❆ ❆✉ ✲Z
❄G
ω
Ein rotierender Beobachter findet das Lot in Ruhe, wenn
⃗v r = 0, also C = 0 ist. Die Gleichgewichtsbedingungen
sind
F sin ϕ = mr r ω 2 = m(r ◦ +lsin ϕ)ω 2 und F cos ϕ = mg.
Durch Division der beiden
ϕ
Gleichungen erhalten wir
π/2
(vgl. Kap. 3.6.3)
r◦/l=1
tanϕ = (r ◦ + l sin ϕ)ω 2
.
g
1
r◦/l=0.01
ω 2 k =g/l
ω/ω κ
0
0 1 2 3 4
d) Ein ruhender Massenpunkt werde vom gleichmässig drehenden (⃗ω =konst.) Bezugssystem
S r aus beobachtet. Die Summe der wahren Kräfte ist Null, weil gilt
⃗v = konst. = 0. Relativ zum System S r beschreibt m eine Kreisbahn mit dem Radius
ρ.
Es ist ⃗v F = ⃗ω × ⃗r r und ⃗v = ⃗v r + ⃗ω × ⃗r r = 0, also ⃗v r = −⃗ω × ⃗r r , ⃗a F = ⃗ω × (⃗ω × ⃗r r )
und mit Gl. (92) ⃗a C = −2⃗ω × (⃗ω × ⃗r r ) = −2⃗a F ; ⃗ Z = −m⃗ω × (⃗ω × ⃗r r ); ⃗ C = −2 ⃗ Z.
Die resultierende Scheinkraft ist mit Gl. (93) − ⃗ Z und stellt eine scheinbare Zentripetalkraft
mit dem Betrag mρω 2 dar.
e) Schwingendes Pendel auf dem Drehtisch. Damit im System S r die Bewegung eben
bleibt, ist m durch eine Stange mit dem Aufhängepunkt verbunden. Die in ihm
auftretende Führungskraft kompensiert die Corioliskraft. Die Bewegungsgleichung
in Tangentialrichtung lautet
❆
❆
ϕ❆
l
❆❑ ❆
❆ F ⃗ m❆
❆✉
⃗Z ✲
⃗G
✻
⃗ω
❄
ml d2 rϕ
= −mg sin ϕ + Z cos ϕ =
dt2 = −mg sin ϕ + lω 2 m sin ϕ cos ϕ.
Für kleine ϕ gilt genähert sinϕ ≈ ϕ, cos ϕ ≈ 1
d 2 ( )
rϕ g
dt + 2 l − ω2 ϕ = 0 mit der Lösung
√ √ g g
ϕ(t) = ϕ ◦ cos(Ωt − δ) mit Ω =
l − ω2 für ω ≤
l
Die Schwingungsdauer nimmt mit zunehmender Drehgeschwindigkeit ω zu und für
ω = ω ◦ = √ g
wird sie T = ∞.
l
Schwingt das Pendel frei, d.h. ist die Bewegung nicht auf eine mitrotierende Ebene
beschränkt, so muss die Corioliskraft berücksichtigt werden. Am einfachsten betrachten
wir dann das Pendel vom ruhenden Beobachter aus. Für diesen schwingt
es in einer Ebene, die rotierende Plattform dreht sich einfach unter dem Pendel weg,
und wir erhalten mit x = x ◦ cos ω ◦ t, y = 0 im ruhenden System und α = ωt für
die Drehung im Relativsystem: x r = x cos α = x ◦ cos ωt cos ω ◦ t
und y r = −x sin α = −x ◦ sin ωt cos ω ◦ t die Bahn einer Hypozykloide.
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