Physik A Teil 1: Mechanik - Physik-Institut - Universität Zürich

9.9.3 Kollergang der Mühlen
ω p
✻
✛
a
❛
❄ Mg ✻
⃗ω ✲ ✲
r
✻ N=N◦+N ′
N ❄
✲
⃗L ◦ ✲
Durch das Abrollen der Mühlsteine wird eine Präzession
des Drehimpulsvektors erzwungen.
⃗L ◦ Ohne Bewegung ist Mg = N ◦ . Die erzwungene Präzession
erfordert ein Drehmoment M ◦ = aN ′ und somit eine
zusätzliche Normalkraft N ′ . Die Rollbedingung verlangt
aω p = rω. Dann wird mit I = 1 2 Mr2 für den Mühlstein
❳ ❳❳
❄❳ ❳❳❳ dL ⃗ ω p = M ◦
= N ′ a
❳ ◦ ❳❳❳❳❄ M◦ ⃗ L ◦ ωI = ωr
a . Also
und N = N ◦ + N ′ = Mg + ω 2 r 3 M/2a 2 .
❄
N ′ = ω2 rI
a 2
9.9.4 Kreiselkompass
Schwimmer
Hg-Wanne
Stator
Rotor
→
L o
Als Kreiselkörper dient der Rotor eines Drehstrommotors,
der an einem Schwimmer hängt, der in Quecksilber taucht.
Dadurch wird erreicht, dass die Kreiselachse horizontal
bleibt, aber in der Horizontalebene frei drehbar ist. Wir
denken uns den Drehimpuls ⃗ L ◦ des Kreisels in einer beliebigen
Orientierung. Seine Komponenten in Richtung Breitenund
Längenkreis seien ⃗ L 1 bzw. ⃗ L 2 . Dreht sich die Erde um
den Winkel ω ◦ dt, so wird eine Präzession von ⃗ L 1 und ⃗ L 2
erzwungen.
Das zur Präzession von ⃗ L 2 notwendige Drehmoment
⃗ M 2 wird durch ungleiche Auflagereaktionen der
Schwimmer erzeugt. Um die Präzession von ⃗ L 1 zu
erzwingen, müsste ein Drehmoment ⃗ M1 vorhanden
sein. Da der Kompass in der Horizontalebene frei
schwimmt, kann ein solches Moment gar nicht auftreten,
und die Kreiselachse dreht sich daher gegen
den Drehsinn von ⃗ M 1 in diejenige Lage, in der gilt
→
→
ω o L2 →
L o
→
L 1
t t+dt Aquator "
d ⃗ L 1
dt
= 0.
Wenn ⃗ L 1 ≠ 0 ist, muss ⃗ L 1 mit ⃗ω drehen, damit ist
nur ⃗ L 1 = konst. = 0 möglich.
Der Vektor ⃗ L ◦ stellt sich also möglichst parallel zu ⃗ω
und zeigt daher zum Nordpol.
→
ω o
→
L 2(t)
→
L2(t+dt)
ω o dt
→
M 1
→
M 2
→
L 1(t+dt)
→
L 1(t)
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