Lösungsvorschlag ¨Ubung 3 - Quack

3.3 Ist F (x 1 , x 2 , ..., x n ) eine differenzierbare Funktion von N Variablen x 1 , x 2 , ..., x N , dann
wird das totale Differential dF (x 1 , x 2 , ..., x n ) definiert als
n∑
( )
∂F (x1 , x 2 , ..., x n )
dF (x 1 , x 2 , ..., x n ) =
dx i (j ≠ i)
∂x i x j
a) f(x 1 , x 2 ) =
√
1 +
(
x2
x 1
) 2
df(x 1 , x 2 ) =
b) g(x, y) = y e x + x ln y
=
=
dg(x, y) =
i=1
( ) ( )
∂f(x1 , x 2 )
∂f(x1 , x 2 )
dx 1 +
dx 2
∂x 1 x 2
∂x 2 x 1
x 1
3
x 1
2
c) h(x, y, z) = axy + bxz + cyz
( )
∂h(x, y, z)
dh(x, y, z) =
∂x
3.4 Ein allgemeines lineares Differential
√
−x 2
2
1 +
(
x2
x 1
) 2
dx 1 +
x 1
2
√
x 2
( )
−x
√ 2 x2
( )
dx 1 − dx 2 2
1 + x2
x 1
x 1
( ) ∂g(x, y)
∂x
= (y e x + ln y) dx +
y,z
y
1 +
(
x2
x 1
) 2
dx 2
( ) ∂g(x, y)
dx +
dy
∂y
x
(
e x + x )
dy
y
( )
∂h(x, y, z)
dx +
∂y
x,z
= (ay + bz) dx + (ax + cz) dy + (bx + cy) dz
δF (x, y) = A(x, y) dx + B(x, y) dy
ist genau dann ein totales Differential, wenn gilt:
( ) ∂F (x, y)
A(x, y) =
∂x
y
( )
∂h(x, y, z)
dy +
∂z
und
( ) ∂F (x, y)
B(x, y) =
∂y
x
Liegt ein totales Differential vor, dann existiert eine Stammfunktion F (x, y) und das Integral
∆F = F (x E , y E ) − F (x A , y A ) =
∫ (xE ,y E )
(x A ,y A )
dF (x, y)
ist unabhängig vom Integrationsweg. Als Integrabilitätsbedingung lässt sich mit Hilfe des
Satzes von Schwarz die folgende Beziehung formulieren:
( ) ( )
∂A(x, y) ∂B(x, y)
=
∂y
∂x
x
2
y
x,y
dz