Lösung 11 - Quack

PCII Chemische Reaktionskinetik M. Quack HS 2012
Lösung 11
(4. Dezember 2012)
11.1 Exemplarische Frage: Wieso hat auf Seite 153 in Bild 3.39 oben das Laserlicht den
dargestellten Intensitätsverlauf mit in regelmässigen Abständen wiederkehrenden Lichtimpulsen?
Der Intensitätsverlauf in Bild 3.39 oben entspricht dem Beispiel des modengekoppelten
Laserpulses aus Abbildung 3.30(d). Der Zeitabstand zwischen den Pulsen entspricht der
Umlaufzeit ∆t = 2L/c (siehe Skript S. 138) bis zur Auskoppelung des Lichtpulses aus dem
Laserresonator, in welchem noch zusätzlich eine Zelle mit einem sättigbaren Absorber
eingesetzt ist. Der Verlauf der Einhüllenden der Intensitätsspitzen folgt der Pulsform des
Lasers, da dieser selber auch gepulst ist (gepulste Anregung der Besetzungsinversion durch
eine elektrische Entladung).
Eine Liste nützlicher Integrale finden Sie am Ende dieser Lösung.
11.2 Für die Relativgeschwindigkeit zweier Teilchen gilt die Vektorgleichung:
und für den Impuls des Schwerpunktes
Sie machen dann den folgenden Ansatz
⃗υ r = ⃗υ a − ⃗υ b (1)
⃗υ S · M = ⃗υ S · (m a + m b ) = (m a ⃗υ a + m b ⃗υ b ) (2)
E kin = 1 2 Mυ2 S + 1 2 µυ2 r = 1 2 M (m a⃗υ a + m b ⃗υ b ) 2
M 2 + 1 2
Ausmultiplizieren und geschicktes Ausklammern ergibt:
E kin =
1 ( )
(ma + m b )υ 2
2M
am a + (m b + m a )υbm 2 b
m a · m b
M (⃗υ a − ⃗υ b ) 2 (3)
=⇒ E kin = 1 2 m aυ 2 a + 1 2 m bυ 2 b (5)
(4)
11.3 (freiwillig) Tunnelprozesse in Wasserstoffbrückenbindung in (HF) 2
11.3.1 Für die Periode des Umklapp-Prozesses gilt
τ =
h
∆E = 1
∆ν = 1
c∆˜ν
= 355 ps (6)
mit der Planckschen Konstante h und der Lichtgeschwindigkeit c. Die Umklappzeit entspricht
der Hälfte der Tunnelperiode und beträgt somit 177 ps.
1

Im Grundzustand beträgt die Tunnelaufspaltung ∆˜ν = 0.66 cm −1 , und demzufolge die
Tunnelperiode 50.5 ps (siehe Skript Kapitel 3.12.3), d.h. die Anregung der freien HF-
Streckschwingung behindert den Tunnelprozess.
11.3.2
Analog zu Aufgabe 11.3.1 erhält man:
v b v f K a ∆˜ν/ cm −1 τ / ps
2 0 0 0.015 2200
0 2 0 0.2116 157.6
11.3.3 Gemäss Gl. (3.115) des Skriptes gilt
Des Weiteren gilt
k = 2πΓ
h = 2πc ˜Γ = 2π∆ν = 2πc∆˜ν. (7)
k = 1
τ PD
, (8)
somit erhält man die Linienbreiten des Absorptionsspektrums nach
∆˜ν =
1
2πcτ PD
. (9)
Setzt man nun die publizierten Prädissoziationslebensdauern in Gl. (9) ein, ergeben sich
die folgenden Linienbreiten:
v b v f K a τ PD / ps ∆˜ν/ cm −1
2 0 0 49.9 0.106
0 2 1 1500 0.0035
Vergleicht man diese Linienbreiten mit den in Aufgabe 11.3.2 gegebenen Tunnelaufspaltungen,
kann festgestellt werden, dass die Linienbreiten der Prädissoziation für die angeregte
wasserstoffbrückengebundene HF-Streckschwingung deutlich breiter ist als jene der
Tunnelaufspaltung.
Die Prädissoziationslebensdauer des Dimeren mit der angeregten wasserstoffbrückengebundenen
HF-Streckschwingung ist kürzer als die des mit der ‘freien’ HF-Streckschwingung.
Der Grund dafür ist, dass die wasserstoffbrückengebundene HF-Streckschwingung
näherungsweise auf der F· · ·HF-Achse liegt. Durch die angeregte Streckschwingung wird
das Wasserstoffatom derart stark beinflusst, dass die Dissoziation der F· · ·H-Bindung viel
früher vonstatten geht als bei der ‘freien’ HF-Streckschwingung.
Ausserdem wird die F· · ·H-Bindung viel weniger durch das Fluor-Atom der ‘freien’ HF-
Streckschwingung beeinflusst, da das Fluor erstens viel träger ist als ein H-Atom und
zweitens steht die ‘freie’ HF-Streckschwingung in einem Winkel von ungefähr 65 ◦ zur
F· · ·H-Bindung, wodurch der Einfluss dieser Streckschwingung auf die Lebensddauer geringer
ausfällt.
Die Dopplerverbreiterung ∆˜ν D des Dimeren (HF) 2 bei 300 K und 7600 cm −1 ist
∆˜ν D = 0.014 cm −1 , d.h. bei Zimmertemperatur wäre keine genügend grosse Auflösung
der schmaleren Linien beim Umklappprozess oder der Prädissoziation gegeben. Kalte
HF-Dimere können mit Hilfe der Methode adiabatischer Expansion eines Überschalldüsenstrahls
erhalten und spektroskopisch untersucht werden. Ein weiterer Vorteil des
2

v
v
Abbildung 1: Schematische Darstellung der ersten beiden Rotationsniveaus des
Schwingungsgrundzustandes (GS) und des mit zwei Quanten angeregten wasserstoffbrückengebundenen
HF-Streckschwingungzustandes. Γ tot gibt die Art der Gesamtsymmetrie
des Zustandes an.
Überschalldüsenstrahls ist, dass auch Stossprozesse vermieden werden, die Dissoziationsund
Emissionsprozesse beeinflussen könnten. Siehe auch Kapitel 3.10.2.
Trotz des Überschalldüsenstrahls ist die Dopplerverbreiterung bei einer typischen Temperatur
von 26 K der Moleküle von ähnlicher Grössenordnung wie die durch die Prädissoziationslebensdauer
gegebene Linienbreite bei Anregung der ‘freien’ HF-Streckschwingung.
Daher erhält man im Experiment Linien mit einem Voigtprofil aus denen dann die
benötigten Linienbreiten nach der Methode der kleinsten Fehlerquadrate ausgewertet werden
können.
In Abbildung 1 ist das vereinfachte Schema für die ersten beiden Rotationsniveaus
des Schwingungsgrundzustandes (GS) und des mit 2 Quanten angeregten wasserstoffbrückenge-bundenen
HF-Streckschwingungzustandes (v b = 2) gegeben. Man sieht
recht deutlich in der Abbildung die grosse Tunnelaufspaltung der Grundzustandsniveaus
(∆˜ν T = 0.66 cm −1 ) im Vergleich zum angeregten Zustand (∆˜ν T = 0.015 cm −1 ). Die
elektrischen Dipolauswahlregeln erlauben nur die folgenden Übergänge:
+ ↔ − Änderung der Parität (10)
A ↔ A Erhaltung der Kernspinsymmetrie (11)
B ↔ B (12)
In Abbildung 1 sind die ersten beiden Übergänge des R- und P-Zweiges für K a = 0 ←
K a = 0 gegeben. Unter Verwendung von Kombinationsdifferenzen können aus den Übergangslinien
die jeweiligen Rotationskonstanten und Bandenzentren der Obertöne bestimmt werden
und daraus dann die Tunnelaufspaltung im angeregten Zustand. Weil die beobachteten
Spektrallinien eine Aufspaltung zeigen, die eine Kombination der grossen Aufspaltung
im Grundzustand mit der kleinen Aufspaltung im angeregten Zustand ist, kann man die
Aufspaltung im Spektrum trotz der grossen Prädissoziationsbreite sehen. Für eine Bestim-
3

mung der kleinen Tunnelaufspaltung ist aber eine genaue Bestimmung der Linienmaxima
nötig.
Literatur: M. Hippler L. Oeltjen, M. Quack, J. Phys. Chem. A 111 (2007) 12659.
11.4 Tunneleffekt und chemische Reaktion
11.4.1
α
Abbildung 2: H 2 O 2 in seinen beiden Gleichgewichtsgeometrien nach [1]. Die Torsionskoordinate
wird weiterhin mit α bezeichnet.
11.4.2 Unter der Annahme von nur zwei gleichgewichteten ”
chiralen“ Eigenfunktionen
der stationären Schrödingergleichung ist die Stereomutationszeit τ Stereomutation durch die
halbe Periode τ der Tunnelbewegung gegeben. Mit einer Tunnelaufspaltung von ∆E 12 =
hc∆˜ν 12 findet man so eine Stereomutationszeit von
τ Stereomutation = τ 2 =
h
2∆E 12
=
1
2c∆˜ν 12
= 1.46 · 10 −12 s. (13)
Hierbei bezeichnen h das Plancksche Wirkungsquantum (6.626 · 10 −34 J s), c die Lichtgeschwindigkeit
(2.998 · 10 10 cm/s) und ∆˜ν 12 die Tunnelaufspaltung (11.4 cm −1 ).
11.4.3 Wie in Abbildung 2 bezeichnet α die Torsionskoordinate ausgehend von planarer
cis-Geometrie. Mit den Angaben in der Aufgabenstellung ergibt sich qualitativ die
Potentialfunktion in Abbildung 3.
Mit der Avogadrokonstanten N A (in mol −1 ) und den Barrierehöhen Ẽb (in cm −1 ) berechnen
sich die Barrierehöhen E b in kJ/mol nach
E b = hcẼbN A (14)
zu E trans
b
für die Barrierehöhe der trans- und E cis
b
für die cis-Geometrie:
Eb trans = 4.31 kJ/mol (15)
Eb cis = 35.89 kJ/mol. (16)
Der Wert von Eb
cis entspricht der groben Annahme von 3000 cm −1 in der Aufgabenstellung.
In der empirisch angepassten Potentialfläche PCPSDE [2] ist Ẽcis b = 2645 cm−1 und
Ẽb
trans = 361 cm −1 , wobei ein Vergleich des berechneten Torsionsspektrums (volle 6-dim.
Rechnung) auf dieser Potentialfläche mit experimentellen Werten von Torsionsniveaus bis
4

E b
cis
cis
V( α )
E b
trans
trans
E 2
E 1
φ 2
φ 1
0
90
180
α / °
270
360
Abbildung 3: Qualitative Potentialfunktion V (α) von H 2 O 2 in Abhängigkeit von der Torsionskoordinate
α. Auf der Ordinate sind die Höhen der Potentialbarrieren von trans-
(Eb
trans ) und cis-Geometrie (Eb cis),
sowie die Eigenenergien der symmetrischen (E 1) und
antisymmetrischen (E 2 ) Wellenfunktionen ϕ 1 respektive ϕ 2 eingezeichnet. Die Tunnelaufspaltung
ist stark übertrieben gezeichnet und das Verhältnis von cis- zu trans-
Barrierenhöhe ist stark untertrieben gezeichnet (in Wahrheit ist Eb cis/Etrans
b > 7). Eine
quantitative Darstellung findet sich in [1] Fig. 6.
ca. 800 cm −1 darauf hindeutet, dass die cis- und trans-Barrieren auf dieser Fläche geringfügig
zu hoch sind. Verschiedene in [2] zitierte frühere 1-dimensionale Auswertungen
der Torsionsspektren ergeben cis-Barrieren im Bereich 2488–2623 cm −1 . Der wahre Wert
der cis-Barriere liegt vermutlich im Bereich 2500–2620 cm −1 , während der wahre Wert der
trans-Barriere sehr nahe bei 360 cm −1 oder geringfügig darunter liegt (durch Vergleich der
volldimensional berechneten und der experimentellen Spektren). Für eine weiterführende
Diskussion der Tunneldynamik in H 2 O 2 siehe [1] sowie allgemeiner [3,4].
11.4.4 Lesen Sie ggf. erneut den Abschnitt 3.12.3 im Skript. Unter den Annahmen
wie in Aufgabe 11.4.2 seien ϕ 1 und ϕ 2 die beiden Lösungen der stationären Schrödingergleichung
zum gegebenen Potential mit Energieeigenwerten E 1 und E 2 . In Abbildung 3
sind die beiden Wellenfunktionen skizziert. Die Lösung der zeitabhängigen Schrödingergleichung
lässt sich als Linearkombination der Zustände ϕ 1 und ϕ 2 schreiben
Ψ(t, q) = √ 1 ( [ϕ 1 exp − 2πiE ) (
1t
+ ϕ 2 exp − 2πiE )]
2t
(17)
2
= 1 √
2
exp
(
− 2πiE 1t
h
h
) [
ϕ 1 + ϕ 2 exp
h
(
− 2πi∆E 12t
h
)]
. (18)
Offenbar ist die Wahrscheinlichkeitsdichte |Ψ(t, q = α)| 2 periodisch mit Periode τ =
h/∆E 12 , wobei ∆E 12 = E 2 − E 1 die Tunnelaufspaltung bezeichnet. Abbildung 4 zeigt das
qualitative Verhalten der Wahrscheinlichkeitsdichte P (t, α) = |Ψ(t, α)| 2 . Abbildung 5 zeigt
die zeitabhängige Aufenthaltswahrscheinlichkeit (Wellenpaket) als Funktion der Torsionskoordinate
α quantitativ aus einer voll 6-dimensionalen quantendynamischen Rechnung
(für Details vgl. [1] Fig. 7).
5

| ( ,t)| 2 / 0
t=0
t= /8
t= /4
t=3/8
t= /2
t=5/8
t=3/4
t=7/8
t=
0 90 180 270 360
Abbildung 4: Qualitative Darstellung der Wahrscheinlichkeitsdichte |Ψ(t, α)| 2 für den Tunnelprozess
von H 2 O 2 von t = 0 bis t = τ in Abständen von τ/8. Bei t = 0 ist |Ψ(t, α)| 2
im linken Potentialminimum lokalisiert (vgl. Abb. 3), bei t = τ/2 (Stereomutationszeit
τ Stereomutation ) im rechten Potentialminimum.
6

11.4.5 Die Stereomutationszeiten für H 2 O 2 , angeregt mit einem OH Streckschwingungsquant
(v 5 = 1) bzw. einem OOH Knickschwingungsquant (v 6 = 1) berechnen sich
wie in Aufgabe 11.4.2. Man findet
τ v 5=1
Stereomutation
= 2.034 · 10 −12 s (19)
τ v 6=1
Stereomutation
= 0.814 · 10 −12 s. (20)
Hierbei bezeichnen v 5 und v 6 die Vibrationsquantenzahlen der Mode ν 5 und ν 6 . Wenn die
Energien der Streck- und Knickschwingungen in der Auslenkung der jeweiligen Schwingungskoordinate
verbleiben und keinerlei Wechselwirkungen zwischen den Schwingungen
und der Torsionsbewegung bestünde, wäre keine Veränderung der Tunnelaufspaltung zu
erwarten. Real beeinflussen die Schwingungen allerdings die Tunnelaufspaltung durch anharmonische
Kopplungen. Ausgehend von nicht planarer Gleichgewichtsgeometrie kann
man sich modellhaft klar machen, dass die Anregung der OH Streckschwingung die Stereomutation
behindert.
11.4.6 Die Stereomutationszeiten für D 2 O 2 und T 2 O 2 berechen sich wie in Aufgabe
11.4.2 zu
τ D 2O 2
Stereomutation
= 8.339 · 10 −12 s (21)
τ T 2O 2
Stereomutation
= 33.356 · 10 −12 s. (22)
Die Energie E vib eines quantenmechanischen Oszillators ist durch E vib = hν gegeben,
wobei ν = (1/2π)(k/m) 1 2 die Schwingungsfrequenz eines Oszillators mit Masse m und
Federkonstanten k bezeichnet. Durch die Substitution der Wasserstoffatome (H) durch
die schweren Isotope Deuterium (D) oder Tritium (T) verschieben sich die Schwingungsniveaus
offenbar tiefer in die Potentialfunktion V (α) in Abbildung 3. Die Potentialbarrieren
sind für tieferliegende Zustände einerseits breiter und überdies höher. Intuitiv ist
klar, dass dies zu einer reduzierten Tunnelwahrscheinlichkeit bzw. längeren Tunnelperiode
führt. Weiterhin ist der Tunneleffekt selbst sehr stark massenabhängig und wird für
grössere Massen sehr schnell kleiner.
[1] B. Fehrensen, D. Luckhaus and M. Quack, Chem. Phys. 338 (2007) 90.
[2] B. Kuhn, T. R. Rizzo, D. Luckhaus, M. Quack and M. A. Suhm, J. Chem. Phys. 111
(1999) 2565.
2
Ψ( t , α) dα
t / ps
τ / 2
α / °
Abbildung 5: Zeitentwicklung eines Wellenpakets entlang der Torsionskoordinate α in
H 2 O 2 nach [1]. In den ersten fünf Picosekunden bewegt sich das Wellenpaket von einer
enantiomeren Struktur bei t = 0 in die andere bei t ≈ 1.5 ps und zurück (bei t = 3 ps ≈ τ).
7

[3] R. Marquardt and M. Quack. Global Analytical Potential Energy Surfaces for Highresolution
Molecular Spectroscopy and Reaction Dynamics. In M. Quack and F. Merkt,
editors, Handbook of High-resolution Spectroscopy, pages 511 - 549, John Wiley &
Sons, Chichester, 2011.
[4] M. Quack. Fundamental Symmetries and Symmetry Violations from High-resolution
Spectroscopy. In M. Quack and F. Merkt, editors, Handbook of High-resolution Spectroscopy,
pages 659 - 772, John Wiley & Sons, Chichester, 2011.
11.5
Die Masse m Higgs des gefundenen Teilchens (vermutlich das Higgs Boson) ist gegeben
durch m Higgs c 2 = 125.3 ± 0.9 GeV, also:
m Higgs = (125.3 ± 0.9) · 0.1602176 · 10 −9 J/c 2 = 2.23 ± 0.02 · 10 −25 kg (23)
oder ca 134 Da (siehe Blatt Energieäquivalente aus Übung 8 für den Umrechnungsfaktor
zwischen GeV und J).
4.21 MeV entsprechen einem Γ = 6.75 · 10 −13 J. Die hypothetische Lebensdauer τ des
Higgs Bosons wäre somit:
τ =
h
2πΓ = 1.56 · 10−22 s = 156 ys (24)
und k uni = 1/τ = 6.40 · 10 21 s −1 .
Wenn diese theoretische Vorhersage richtig ist, dann ist das Higgs Boson relativ langlebig
(im Vergleich zum Z-Boson).
11.6 Lesen Sie ggf. erneut die Abschnitte 3.11.1 und 3.11.2 im Skript. Unter der Annahme
ruhender und gleich verteilter Stosspartner B folgt die Strahlintensität I im wesentlichen
dem Lambert-Beerschen Gesetz. Den Wirkungsquerschnitt σ findet man demnach mit der
Beziehung
σ = ln (I 0/I)
C B l
=
ln (100/95)
p N A l/(RT ) = 2.07497 · 10−20 m 2 = 20749.7 pm 2 , (25)
da gemäss Aufgabenstellung I = 95% I 0 = 95 I 0 /100 und l = 1 cm, und mit dem idealen
Gasgesetz überdies C B = pN A /(RT ) ≈ 2.472·10 20 m −3 gelte. Folgt man den Ausführungen
im Abschnitt 3.11.2, so findet man Gl. (3.139a) im Skript und mit der Relativgeschwindigkeit
v A = 900 m/s also den Wert der spezifischen Geschwindigkeitskonstanten
k (v A ) = σv A ≈ 1.87 · 10 −17 m 3 /s . (26)
11.7 Die mittlere kinetische Energie einer dreidimensionalen Geschwindigkeitsverteilung
ist durch 〈E t 〉 = 3k B T/2 gegeben. So findet man für die Temperatur
T = 2 〈E t〉
3k B
. (27)
Bei der Auswertung ist zu berücksichtigen, dass 〈E t 〉/(hc) in Einheiten von cm −1 angegeben
ist. Mit Gleichung (27) lässt sich die volle Dopplerbreite ∆˜ν D bei der Absorptionsfrequenz
˜ν 0 nach (3.124b)
√ √
16〈Et 〉 ln 2 8kB T ln 2
∆˜ν D = ˜ν 0 = ˜ν
3mc 2 0
mc 2
8
≈ 7.16 · 10 −7 √
(T/K)
(m/u) ˜ν 0 (28)

sofort berechnen. Setzt man für die Absorptionsfrequenz ˜ν 0 = 7603 cm −1 und m = 127 u
für die Masse des Iodatomes, so ergeben sich die in der folgenden Tabelle zusammengefassten
Temperaturen und Dopplerbreiten.
Spezies CF 3 I CF 3 CHFI C 6 F 5 I
〈E t 〉 / (hc cm −1 ) 524 544 698
T / K 502.6 521.8 669.5
∆˜ν D / (10 −3 cm −1 ) 10.8296 11.0343 12.4989
Setzt man Normalverteilung der Messwerte voraus, dann werden zwei Messwerte in der
Regel als signifikant verschieden betrachtet, falls die Maxima der Verteilungsfunktionen
mindestens zwei Standardabweichungen σ auseinander liegen. Damit also die Unterschiede
in den Energien als signifikant betrachtet werden können, muss für die verglichenen
Translationsenergien 〈E t 〉 1 und 〈E t 〉 2 die Beziehung
〈E t 〉 1 − 〈E t 〉 2 = 2σ (29)
gelten. In dieser Aufgabe genügt es, wenn man die Standardabweichung σ mit der Hälfte
der kleinsten Differenz in den Translationsenergien gleichsetzt. Der maximal erlaubte
Fehler ∆(∆˜ν D ) in der Dopplerbreite ergibt sich also über
2σ = 〈E t 〉 CF3 CHFI − 〈E t 〉 CF3 I = 20 cm −1 (30)
mit Gleichung (28). Setzt man für 〈E t 〉 = 〈E t 〉 CF3 I + σ = 534 cm −1 , so findet man die
Dopplerbreite ∆˜ν D = 10.9324 · 10 −3 cm −1 und damit den maximal erlaubten Messfehler
∆(∆˜ν D ) = 1.028 · 10 −4 cm −1 . (31)
11.8 Die Dämpfung des Molekülstrahls der Intensität I ([I]=[Teilchen/(Fläche · Zeit)])
ergibt integriert
−dI = σI[D 2 ]dx (32)
ln I 0
I = σ[D 2]l (33)
Berechnung der Konzentration von D 2 in der Streukammer (in Teilchen/cm 3 , unter Annahme
idealen Gasverhaltens):
[D 2 ] = p D 2
N A
RT
Definition der “Halbwertslänge”:
= 15.33 · 10 14 Teilchen/cm 3 (34)
I(l 1/2 ) = I 0 /2 (35)
l 1/2 = ln 2
[D 2 ]σ
(36)
v rel / km s −1 σ / Å 2 l 1/2 / cm
1 80 0.057
8 40 0.113
9

Die spezifische Geschwindigkeitskonstante berechnet sich gemäss (vgl. Kap. 3.11.2 im
Skript):
k(v rel ) = σv rel (37)
Wir nehmen hier an, dass v rel ≈ v H . Unter der Annahme, dass das streuende Gas D 2
relativ zum Strahl der Wasserstoffatome ruht, wäre genauer ⃗v rel = ⃗v H − 〈⃗v D2 〉 = ⃗v H (siehe
Aufgabe 11.2). Es ergibt sich
v rel / km s −1 k(v rel ) / (cm 3 s −1 )
1 8.0 · 10 −10
8 3.2 · 10 −9
Anmerkung: Die vollständige Literaturstelle lautet: N. Hishinuma, “H-D 2 potential from
absolute integral cross section measurements at thermal energy”, Chem. Phys. Lett. 70
361 (1980).
11.9 Die Testatbedingungen, die Prüfungsinhalte und den Prüfungsmodus finden Sie in
Übung 2. Es sollten keine Fragen hierzu offen bleiben.
Integralformeln zum Skript
∫
x n dx = xn+1
+ C
n + 1
∫
für n ≠ −1 (38)
x n dx = ln (x) + C für n = −1 (39)
∫
dx
ln (x + a) − ln (x + b)
= + C
(x + a)(x + b)
b − a
∫
(40)
exp (x)dx = exp (x) + C (41)
Γ(n) :=
∫
x n−1 exp (−x)dx
R + = 2
∫
x 2n−1 exp (−x 2 )dx
R + für n > 0 (42)
Γ(n + 1) = nΓ(n) (43)
∫
∫
Γ(1/2) = x −1/2 exp (−x)dx = exp ( −x 2) dx = √ π (44)
R + R
Γ(1) = 1 (45)
Anmerkung: Integrationsvariable werden hier als “freie” substituierbare Variable betrachtet,
so dass die Symbole “x” für unterschiedliche Variable stehen können.
10