Musterlösung zu ¨Ubung 2 - Quack

PC I Thermodynamik J. Stohner / M. Quack SoSe2006
Musterlösung zu Übung 2
2.1. Mögliche Fragen:
1) Warum werden die 4 Elektronen links in Gl. (32) nicht gegen die 2 Elektronen rechts
gekürzt?
Antwort : Prinzipiell könnte man das machen, die Gleichung wurde aber so aufgeschrieben,
dass das Reaktionssystem insgesamt keine Ladung hat, was der realen
Situation entspricht.
2) Was bedeutet das [M] über dem Pfeil der Elementarreaktionen Gl. (50), (53), oder
(57) auf Seite 42 ?
Antwort : In diesen Elementarreaktionen spielen auch Stosspartner eine Rolle (mit M
abgekürzt), da sie durch Stösse Energie übertragen können und somit die Reaktion
beeinflussen (das wird später in der Kinetikvorlesung noch ausführlich behandelt).
3) Was ist ein Fulmination ?
Antwort : Hier muss man Fulminat-Ion lesen (Ion der Knallsäure). Es gibt des Weiteren
auch eine Isoknallsäure.
4) Was ist der Unterschied zwischen dem Massenumsatz ∆m i (Gl. 37) und dem Massendefekt
∆m (Gl. 41) ?
Antwort : Der Massenumsatz ∆m i ist die für den Wert von ξ umgesetzte Masse eines
Stoffes B i , während der Massendefekt ∆m die Verletzung der Massenerhaltung in
der Reaktion angibt. Es sind zwei völlig verschiedene Dinge. Man kann aus Massenumsätzen
gem. Gl. 41 den Massendefekt berechnen.
5) Woher kommen die Zahlen in Gleichung (119) ?
Antwort : Sie wurden aus einer Auswertung experimenteller Messdaten erhalten.
6) Warum sind die Reaktionsgleichungen in den Beispielen Gl. (32) und (33) mit einem
= verbunden, und nicht mit Reaktionspfeilen wie in Gl. (46) und (47)?
Antwort : Die Reaktionspfeile gelten nur für Elementarreaktionen. Zur Unterscheidung
von Elementarreaktionen und von Bruttoreaktionen wird in der Gleichung der
Bruttoreaktion ein = geschrieben statt des Pfeiles → für eine Elementarreaktion. Eine
detaillierte Betrachtung wird im nächsten Semester (Kinetik Vorlesung) vorgenommen.
Die Unterscheidung ist besonders in der Reaktionskinetik wichtig und wird in
anderen Bereichen nicht immer beachtet.
7) Druckfehler Seite 21, 5. Zeile von unten: Cyanat statt Ammoniumcyanat.
Druckfehler Seite 49 Gl. (72b): das Quadrat muss bei (e/C) 2 ergänzt werden.
Druckfehler Seite 56: 1 l atm = 101.325 J (Punkt fehlt im Skript).
2.2. Molmassen: M H2 = 2.02 g mol −1 , M N2 = 28.02 g mol −1 , M NH3 = 17.03 g mol −1 .
100 kg Stickstoff entsprechen 3569 mol. Pro mol N 2 werden nach Gl. (23) 3 mol H 2 verbraucht
und 2 mol NH 3 gebildet. Pro 100 kg N 2 werden also 10707 mol bzw. 21.6 kg H 2
verbraucht und 7138 mol bzw. 121.6 kg NH 3 gebildet.
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2.3. Nach Gl. (31) wird pro 238 U unter anderem ein 4 He gebildet. Die Masse von 238 U verhält
sich zu der eines 4 He wie 238 zu 4. Aus 3 Tonnen 238 U entstehen nach Gl. (31)
3 × 4
238 = 0.0504 Tonnen 4 He, also 50.4 kg. (1 Tonne = 10 3 kg).
Anmerkung: Weiteres He wird in Folgereaktionen in den α-Zerfällen der Zerfallsprodukte
von U (Th usw.) gebildet. In der Aufgabenstellung war aber nur nach dem Beitrag von
Gl. (31) gefragt.
2.4. Pro Formelumsatz Gl. (32) werden 4 mol Wasserstoffionen und 2 mol Elektronen verbraucht.
Die Molmassen des 4 He, des Wasserstoffions und des Elektrons verhalten sich
ungefähr wie 4 zu 1 zu 1/1836. Für 5.2 × 10 13 Tonnen Helium werden bei der Fusion
also 5.2 × 10 16 kg Wasserstoffionen und 1.4 × 10 13 kg Elektronen verbraucht. Gl.(32) ist
eine Bruttogleichung, der kinetische Reaktionsmechanismus ist wesentlich komplizierter.
Es werden bei der Fusion auch Neutrinos gebildet.
Berechnung der Solarkonstante:
Die Masse eines Protons beträgt 1.6726231·10 −27 kg und die eines Elektrons
9.1093897·10 −31 kg. Die Summe aus den Massen von vier Protonen und zwei Elektronen ist
6.69231428·10 −27 kg, der 4 He-Kern hat jedoch nur die Masse 6.6446516·10 −27 kg, daraus
resultiert also ein Massendefekt von 4.766267·10 −29 kg bzw. 0.7% der Gesamtmasse. Bei
einem Umsatz von ξ = 1 mol ist dementsprechend ∆m = −0.0287 g. Für den Tagesumsatz
(5.2·10 13 t He) auf der Sonne beträgt der Massendefekt somit ∆m = −3.730·10 14 kg. Dies
entspricht einer verstrahlten Energie von ∆E = 3.352·10 31 J pro ∆t = 1 d= 24 h= 86400 s
(mit E = m·c 2 ). Die abgestrahlte Sonnenenergie pro Sekunde und Quadratmeter bei einer
Distanz von r e−s = 1.5 · 10 8 km (mittlere Distanz Sonne–Erde) nennt man Solarkonstante
S. Nimmt man an, dass die gesamte Strahlung der Sonne sich gleichmässig auf die
Oberfläche einer gedachten Kugel mit dem Radius des Erde–Sonnenabstandes verteilt, so
berechnet sich die Solarkonstante zu
S =
∆E
∆t · 4π(r e−s ) 2 =
3.352 · 10 31 J
86400 s · 4π(1.5 · 10 11 ) 2 m 2 = 1372 W/m2 (1)
Dieser Wert entspricht praktisch dem Literaturwert von 1374 W/m 2 (CRC, Handbook of
Chemistry and Physics, 77 th Edition, 1996/97). Es sei angemerkt, dass auf der Erdoberfläche
jedoch durch “Reflexion” an der Atmosphäre nur ein Teil der Strahlungsleistung
ankommt, und des Weiteren gilt die Abschätzung nur bei senkrechtem Einfall der Sonnenstrahlen
(Zenit).
2.5. Nach Gl. (96) ist e die Summe der Kehrwerte aller Fakultäten,
e =
∞∑
n=0
1
n! = 1 + 1 + 1 2 + 1 6 + 1 24 + ...
= 2.71828182845904523536028747135266249775724709369996...
Wenn man e auf 50 Stellen genau berechnen will, muss man mindestens bis n ≥42 summieren,
denn 42! ≈ 1.405×10 51 . Man kann diese Summation mit der gewünschten Genauigkeit
mit mathematischen Hilfsprogrammen wie Maple oder Mathematica durchführen (in Mathematica
: SetP recision[NSum[1/n!, {n, 0, Infinity}], 50]).
Oder, ein Hilfsprogramm schreiben, das die mathematischen Operationen Addition, Multiplikation
und Division mit dieser Genauigkeit ausführt. Ein solches Programm in der
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wichtigen Programmiersprache Fortran befindet sich im Anhang. Im Wesentlichen macht
ein solches Programm eine Multiplikation oder Addition ganzer Zahlen so, wie man es
von Hand machen würde, also Zahl um Zahl, und damit immer exakt ohne Rundungsfehler.
Eine Division durchzuführen ist dagegen etwas komplizierter. Man umgeht dieses
Problem hier dadurch, dass man die Nenner in der Reihenentwicklung von e in Primzahlen
zerlegt, und die Kehrwerte aller benötigten Primzahlen mit der geforderten Genauigkeit
speichert/vorgibt.
2.6. Bimolekulare Reaktion
[k] = [Konzentration −1 Zeit −1 ]
Nach einer anderen Konvention kann man auch schreiben
dim(k) = dim(Konzentration −1 Zeit −1 ).
Mögliche Einheiten: dm 3 mol −1 s −1 , m 3 mol −1 s −1
2.7. Im Universum kommt Wasserstoff praktisch ausschliesslich atomar vor, d.h. als H Atome.
Die Molmasse von H verhält sich zur Molmasse von He wie 1 zu 4. Der Molenbruch des H
beträgt also x H =75/(75+25/4) = 0.923 und der des He beträgt
x He = (25/4)/(75+25/4) = 0.077.
Anmerkung: Rechnet man statt des Molenbruchs x H formal den Molenbruch von molekularem
Wasserstoff, so ergibt sich x H2 = 0.857 und x He = 0.143, was bei der nicht eindeutigen
Formulierung der Aufgabenstellung eine akzeptable Lösung wäre, obwohl nicht wirklich
H 2 vorliegt.
2.8. Luftzusammensetzung
a) 1 mol N 2 hat die Masse 28.014 g, 1 mol O 2 31.998 g, 1 mol Ar 39.948 g und 1 mol CO 2
hat die Masse 44.009 g. Mit den angegebenen Molenbrüchen sind in 1 mol trockener
Luft also 21.873 g N 2 , 6.704 g O 2 , 0.375 g Ar und 0.013 g CO 2 . Die Gesamtmasse
von 1 mol trockener Luft ist also 28.966 g. Damit ist die Zusammensetzung in
Massenprozenten 75.51% N 2 , 23.14% O 2 , 1.30% Ar und 0.05% CO 2 .
b) Nach dem idealen Gasgesetz ist bei 1 atm und 283 K das Volumen von 1 mol Luft
V = 23.222 dm 3 . Die Konzentration c i eines Stoffes i ist definiert als
c i = n i
V
Mit den angegebenen Molenbrüchen ergeben sich folgende Konzentrationen:
Die Teilchenzahldichte C i ist definiert als
i c i /(mol dm −3 )
N 2 3.4 ·10 −2
O 2 9.02 ·10 −3
Ar 4.05 ·10 −4
CO 2 1.29 ·10 −5
C i = n i
V · N A = c i · N A
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Somit folgt
Die Massenkonzentration ist definiert als
i C i /(dm −3 )
N 2 2.02 ·10 22
O 2 5.43 ·10 21
Ar 2.44 ·10 20
CO 2 7.77 ·10 18
ρ i = m i
V
Mit den zuvor angegebenen Molvolumen und Massenprozenten ergibt sich
i ρ i / (g cm −3 )
N 2 9.4 ·10 −4
O 2 2.9 ·10 −4
Ar 1.6 ·10 −5
CO 2 5.6 ·10 −7
c i , C i und ρ i sind proportional zum Druck p, da nach dem idealen Gasgesetz das
Volumen V umgekehrt proportional zum Druck p ist.
c) Die Molalität ist definiert als
m i = n i
m
wobei m die Masse des Lösungsmittels N 2 ist. 1 mol trockene Luft enthält 0.781 mol
N 2 mit der Masse 0.0219 kg und z.B. 0.210 mol O 2 . Damit ist z.B. die Molalität von
O 2 m O2 = 0.210/0.0219 mol kg −1 = 9.57 mol kg −1 . Somit ist
i m i / (mol kg −1 )
O 2 9.57
Ar 0.43
CO 2 0.014
Da sich bei einer Druckänderung oder Luftverflüssigung die relative Zusammensetzung
nicht ändert, bleibt auch die Molalität konstant. Geht dagegen x N2 nach 0, dann
geht auch die Masse m von N 2 nach 0; somit streben die m i nach unendlich, da in
der Definition von m i die Masse des Lösungsmittels im Nenner steht.
d) 1 mol O 3 hat die Masse 47.997 g. 1 mol Luft hat die Masse 28.966 g und nimmt bei
283 K und 1 atm ein Volumen von 23.222 dm 3 = 23222 cm 3 ein.
Wenn sich 0.1 ppm auf den Molanteil bezieht, ist der Molenbruch x = 10 −7 , der
Massenbruch w = 1.7 · 10 −7 , die Konzentration c = 4.3 · 10 −9 mol dm −3 , die Teilchenzahldichte
C = 2.6 · 10 15 dm −3 , die Massenkonzentration ρ = 2.1 · 10 −10 g cm −3
und die Molalität m = 4.6 µmol kg −1 . Wenn sich 0.1 ppm dagegen auf den Massenanteil
bezieht, ist der Molenbruch x = 6 · 10 −8 , der Massenbruch w = 10 −7 , die
Konzentration c = 2.6 · 10 −9 mol dm −3 , die Teilchenzahldichte C = 1.6 · 10 15 dm −3 ,
die Massenkonzentration ρ = 1.2 · 10 −10 g cm −3 und die Molalität m = 2.07 µmol
kg −1 .
Die Grössen c, C und ρ hängen vom Volumen ab und sind somit abhängig von Temperatur
und Druck.
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