Musterlösung zu ¨Ubung 2 - Quack

2.3. Nach Gl. (31) wird pro 238 U unter anderem ein 4 He gebildet. Die Masse von 238 U verhält
sich zu der eines 4 He wie 238 zu 4. Aus 3 Tonnen 238 U entstehen nach Gl. (31)
3 × 4
238 = 0.0504 Tonnen 4 He, also 50.4 kg. (1 Tonne = 10 3 kg).
Anmerkung: Weiteres He wird in Folgereaktionen in den α-Zerfällen der Zerfallsprodukte
von U (Th usw.) gebildet. In der Aufgabenstellung war aber nur nach dem Beitrag von
Gl. (31) gefragt.
2.4. Pro Formelumsatz Gl. (32) werden 4 mol Wasserstoffionen und 2 mol Elektronen verbraucht.
Die Molmassen des 4 He, des Wasserstoffions und des Elektrons verhalten sich
ungefähr wie 4 zu 1 zu 1/1836. Für 5.2 × 10 13 Tonnen Helium werden bei der Fusion
also 5.2 × 10 16 kg Wasserstoffionen und 1.4 × 10 13 kg Elektronen verbraucht. Gl.(32) ist
eine Bruttogleichung, der kinetische Reaktionsmechanismus ist wesentlich komplizierter.
Es werden bei der Fusion auch Neutrinos gebildet.
Berechnung der Solarkonstante:
Die Masse eines Protons beträgt 1.6726231·10 −27 kg und die eines Elektrons
9.1093897·10 −31 kg. Die Summe aus den Massen von vier Protonen und zwei Elektronen ist
6.69231428·10 −27 kg, der 4 He-Kern hat jedoch nur die Masse 6.6446516·10 −27 kg, daraus
resultiert also ein Massendefekt von 4.766267·10 −29 kg bzw. 0.7% der Gesamtmasse. Bei
einem Umsatz von ξ = 1 mol ist dementsprechend ∆m = −0.0287 g. Für den Tagesumsatz
(5.2·10 13 t He) auf der Sonne beträgt der Massendefekt somit ∆m = −3.730·10 14 kg. Dies
entspricht einer verstrahlten Energie von ∆E = 3.352·10 31 J pro ∆t = 1 d= 24 h= 86400 s
(mit E = m·c 2 ). Die abgestrahlte Sonnenenergie pro Sekunde und Quadratmeter bei einer
Distanz von r e−s = 1.5 · 10 8 km (mittlere Distanz Sonne–Erde) nennt man Solarkonstante
S. Nimmt man an, dass die gesamte Strahlung der Sonne sich gleichmässig auf die
Oberfläche einer gedachten Kugel mit dem Radius des Erde–Sonnenabstandes verteilt, so
berechnet sich die Solarkonstante zu
S =
∆E
∆t · 4π(r e−s ) 2 =
3.352 · 10 31 J
86400 s · 4π(1.5 · 10 11 ) 2 m 2 = 1372 W/m2 (1)
Dieser Wert entspricht praktisch dem Literaturwert von 1374 W/m 2 (CRC, Handbook of
Chemistry and Physics, 77 th Edition, 1996/97). Es sei angemerkt, dass auf der Erdoberfläche
jedoch durch “Reflexion” an der Atmosphäre nur ein Teil der Strahlungsleistung
ankommt, und des Weiteren gilt die Abschätzung nur bei senkrechtem Einfall der Sonnenstrahlen
(Zenit).
2.5. Nach Gl. (96) ist e die Summe der Kehrwerte aller Fakultäten,
e =
∞∑
n=0
1
n! = 1 + 1 + 1 2 + 1 6 + 1 24 + ...
= 2.71828182845904523536028747135266249775724709369996...
Wenn man e auf 50 Stellen genau berechnen will, muss man mindestens bis n ≥42 summieren,
denn 42! ≈ 1.405×10 51 . Man kann diese Summation mit der gewünschten Genauigkeit
mit mathematischen Hilfsprogrammen wie Maple oder Mathematica durchführen (in Mathematica
: SetP recision[NSum[1/n!, {n, 0, Infinity}], 50]).
Oder, ein Hilfsprogramm schreiben, das die mathematischen Operationen Addition, Multiplikation
und Division mit dieser Genauigkeit ausführt. Ein solches Programm in der
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