Lösungsvorschlag ¨Ubung 3 - Quack

c) Mit der Zuordnung
kann man schreiben:
δF 3 (n 1 , n 2 ) = R ln
Die Integrabilitätsbedingung ist erfüllt:
( ∂A3 (n 1 , n 2 )
( )
n1
A 3 (n 1 , n 2 ) = R ln
n 1 + n 2
( )
n2
B 3 (n 1 , n 2 ) = R ln
n 1 + n 2
( ) ( )
n1
n2
dn 1 + R ln
dn 2
n 1 + n 2 n 1 + n 2
= A 3 (n 1 , n 2 ) dn 1 + B 3 (n 1 , n 2 ) dn 2
∂n 2
)
n 1
=
( )
−R
(n 1 + n 2 ) = ∂B3 (n 1 , n 2 )
∂n 1
⇒ δF 3 (n 1 , n 2 ) = dF 3 (n 1 , n 2 ) ist ein totales Differential.
Die Zustandsfunktion F 3 (n 1 , n 2 ) findet man durch Integration, z.B. ausgehend vom festen
Punkt (0, 0):
∫ n1
∫ n2
F 3 (n 1 , n 2 ) = C 3 + A 3 (n ′ 1, 0) dn ′ 1 + B 3 (n 1 , n ′ 2) dn ′ 2
0
0
∫ n1
( ) n
′
∫ n2
( )
= C 3 + R ln 1
n
0 n ′ 1
} {{ + 0 dn ′ ′
1 + R ln 2
0 n 1 + n ′ dn ′ 2
2
}
=0
∫ n2
∫ n2
= C 3 + R ln n ′ 2 dn ′ 2 − R ln(n 1 + n ′ 2) dn ′ 2
0
0
n ′ 2
= C 3 + Rn ′ 2(ln n ′ =n 2
n ′ 2
2 − 1)
− R(n
∣
1 + n ′ 2)(ln(n 1 + n ′ =n 2
2) − 1)
∣
n ′ 2 =0 n ′ 2 =0
Benützt man den Grenzwert
folgt:
lim x ln x = 0
x→0
F 3 (n 1 , n 2 ) = C 3 + Rn 2 (ln n 2 − 1) − R(n 1 + n 2 )(ln(n 1 + n 2 ) − 1) + Rn 1 (ln n 1 − 1)
( ( ) ( ))
n1
n2
= C 3 + R n 1 ln
+ n 2 ln
n 1 + n 2 n 1 + n 2
n 2
3.5 (a)
(b)
dz = (a + 2bx + cy + ye x ) dx + (cx + e x ) dy = Adx + Bdy
A = a + 2bx + cy + ye x B = cx + e x
∫ x
g(x) = Adx ′ =
(ax ′ + bx ′2 + cyx ′ + ye x′)∣ ∣x
x−x 0
= ax 0 − bx 2 0 + 2bxx 0 + cyx 0 + ye x ( 1 − e −x )
0
h(y) =
∫ y
y−y 0
Bdy ′ = (cx + e x ) y 0
x−x 0
4