Das Problem der 100 Gefangenen

Wie soll das nun aber die Wahrscheinlichkeit, dass alle ihre Nummer finden,
verbessern? Zur besseren Veranschaulichung beschränken wir uns bei beim
folgenden Schaubild auf 10 Gefangene. Wir betrachten also eine beliebige Neuanordnung
von Zahlen bzw. eine bijektive Selbstabbildung, mathematisch betrachtet
ist das eine Permutation:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
3 6 8 10 9 7 2 4 5 1
Eine andere Schreibweise für Permutationen ist die Zykelschreibweise:
( 1 3 8 4 10 ) ( 2 6 7 ) ( 5 9 )
Diese Schreibweise macht sich zunutze, dass Permutationen sogenannte Zykel
bilden, also Sequenzen, die sich wiederholen. Wenn ein Gefangener also mit der
Box anfängt, die die selbe Nummer hat, wie er selbst, stellt er sicher, dass er
irgendwann auch die Box mit der eigenen Nummer findet, schließlich betrachten
wir ja solche Zykel. Haben die Gefangenen also eine Permutation erwischt, bei
der alle Zykel kleiner oder gleich 50 sind, kommen sie nach dieser Strategie frei.
Wenn die Permutation aber einen größeren Zykel enthält, kommen sie nicht frei.
Permutationen
Wie hoch ist also die Wahrscheinlichkeit für eine solche Permutation? Es gibt
100! mögliche Permutationen. Wenn wir davon alle Permutationen abziehen, die
Zykel enthalten, die größer als 50 sind, haben wir alle “guten” Permutationen.
Um einen Zykel der Länge 51 zu erhalten wählen wir 51 der 100 Zahlen.
Es gibt ( )
100
51 Möglichkeiten dafür. Desweiteren gibt es 50! mögliche Anordnungen,
damit ein Zykel mit 51 Zahlen entsteht ((51 − 1)!). Außerdem gibt es 49!
Möglichkeiten, die restlichen Zahlen anzuordnen. Insgesamt ergeben sich also
( ) 100
· 49! · 50! = 100!
100!
· 49! · 50! =
51
51! · 49! 51
Permutationen mit 51-stelligen Zykeln. Diese Formel gilt, da nicht mehr als ein
Zykel der Größe > 50 in einer Permutation enthalten sein kann, denn es sind ja
nur noch