Das Problem der 100 Gefangenen

Das Problem der 100 Gefangenen
Tim Heinrich
9. Juni 2008
Problembeschreibung
100 Gefangene bekommen eine einmalige Gelegenheit. Die Gefangenen sind von
1-100 durchnummeriert. Die Nummern der Gefangenen wurden in 100 hölzernen
Boxen platziert, in jeder Box eine, jede Nummer genau ein Mal. Die Boxen
sind auch von 1-100 durchnummeriert. Die Gefangenen haben kurze Zeit sich
abzusprechen. Sie werden danach nacheinander in den Raum mit den Boxen
geführt und dürfen 50 der Boxen öffnen, dabei ist jeweils nur ein Gefangener
im Raum. Ziel ist es, die eigene Nummer zu finden. Eingang und Ausgang des
Raumes münden in unterschiedlichen Trakten, so haben die Gefangenen keine
Möglichkeit, mit Gefangenen, die noch nicht in dem Raum waren, zu kommunizieren,
nachdem sie in den Raum geführt wurden.
Wenn alle Gefangenen auf diese Weise ihre eigene Nummer finden, werden
alle Gefangenen freigelassen. Ansonsten, wenn mindestens ein Gefangener seine
Nummer nicht findet, werden alle noch am selben Abend gehängt.
Lösungen
Naiver Lösungsansatz
Eine naive Lösung des Problems ist, dass jeder Gefangene zufällig ausgewählte
Boxen öffnet und hofft, seine eigene Nummer zu finden. Der Wahrscheinlichkeitsraum
ist dabei die Menge aller n! Permutationen und die Wahrscheinlichkeitsverteilung
ist die Gleichverteilung auf diesem Wahrscheinlichkeitsraum. Die
Wahrscheinlichkeit, dass ein Gefangener seine Nummer findet, ist dabei trivialerweise
1 2
. Bei 100 Gefangenen beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass jeder seine
Nummer findet also 1
2
, eine verschwindend kleine Wahrscheinlichkeit.
100
Nun muss man sich die Frage stellen, ob es nicht auch besser geht. Dabei
gibt es das verblüffende Ergebnis, dass dieses Problem mit einer Erfolgswahrscheinlichkeit
von über 30% gelöst werden kann.
Lösungsstrategie
Eine bessere Lösungsstrategie ist es, dass ein Gefangener zuerst die Box öffnet,
die seiner Nummer entspricht. Wenn darin seine eigene Nummer ist, muss er
keine weiteren Boxen öffnen. Ansonsten öffnet er die Box, die der Nummer
in der geöffneten Box entspricht (und so weiter), bis er seine eigene Nummer
gefunden oder 50 Boxen geöffnet hat.
1

Wie soll das nun aber die Wahrscheinlichkeit, dass alle ihre Nummer finden,
verbessern? Zur besseren Veranschaulichung beschränken wir uns bei beim
folgenden Schaubild auf 10 Gefangene. Wir betrachten also eine beliebige Neuanordnung
von Zahlen bzw. eine bijektive Selbstabbildung, mathematisch betrachtet
ist das eine Permutation:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
3 6 8 10 9 7 2 4 5 1
Eine andere Schreibweise für Permutationen ist die Zykelschreibweise:
( 1 3 8 4 10 ) ( 2 6 7 ) ( 5 9 )
Diese Schreibweise macht sich zunutze, dass Permutationen sogenannte Zykel
bilden, also Sequenzen, die sich wiederholen. Wenn ein Gefangener also mit der
Box anfängt, die die selbe Nummer hat, wie er selbst, stellt er sicher, dass er
irgendwann auch die Box mit der eigenen Nummer findet, schließlich betrachten
wir ja solche Zykel. Haben die Gefangenen also eine Permutation erwischt, bei
der alle Zykel kleiner oder gleich 50 sind, kommen sie nach dieser Strategie frei.
Wenn die Permutation aber einen größeren Zykel enthält, kommen sie nicht frei.
Permutationen
Wie hoch ist also die Wahrscheinlichkeit für eine solche Permutation? Es gibt
100! mögliche Permutationen. Wenn wir davon alle Permutationen abziehen, die
Zykel enthalten, die größer als 50 sind, haben wir alle “guten” Permutationen.
Um einen Zykel der Länge 51 zu erhalten wählen wir 51 der 100 Zahlen.
Es gibt ( )
100
51 Möglichkeiten dafür. Desweiteren gibt es 50! mögliche Anordnungen,
damit ein Zykel mit 51 Zahlen entsteht ((51 − 1)!). Außerdem gibt es 49!
Möglichkeiten, die restlichen Zahlen anzuordnen. Insgesamt ergeben sich also
( ) 100
· 49! · 50! = 100!
100!
· 49! · 50! =
51
51! · 49! 51
Permutationen mit 51-stelligen Zykeln. Diese Formel gilt, da nicht mehr als ein
Zykel der Größe > 50 in einer Permutation enthalten sein kann, denn es sind ja
nur noch

Allgemein
Betrachte folgendes Schaubild:
Abbildung 1: [1]
Das Bild macht deutlich, dass die Summe für die Wahrscheinlichkeit einer
“schlechten” Permutation kleiner als die Gesamtfläche unter dem Graphen in
den Grenzen von 50 bis 100 sein muss, also
1
51 + 1
52 + . . . + 1
99 + 1
100
100 = ∑
n=51
∫
1 100
n < 1
50 x dx
∫ 100
1
∣ ∣∣
⇒ 1 −
50 x dx = 1 − ln x 100
50
= 1 − ln(100) − ln(50) = 1 − ln( 100 ) = 1 − ln 2 ≈ 0, 307
50
Somit ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Gefangenen freikommen, für eine
beliebige Anzahl von Gefangenen, immer größer als ≈ 30, 7%
Eugene Curtain und Max Washauer haben mittlerweile sogar bewiesen, dass
diese Lösung nicht mehr verbessert werden kann.
Literatur
[1] “The condemned prisoners and the boxes.”,
http://www.mast.queensu.ca/∼peter/inprocess/prisoners.pdf, 06.05.2008
[2] “Prisoners and permutations”, http://www.math.princeton.edu/∼wwong/
blog/blog200608191813.shtml, August 2006
[3] “Puzzling Names in Boxes”, http://www.sciencenews.org/articles/20060819/mathtrek.asp,
August 2006
[4] “Cycles and fixed points”, http://en.wikipedia.org/wiki/Cycles and fixed points,
20.05.2008
[5] “Kombinatorik”, http://de.wikipedia.org/wiki/Kombinatorik, 20.05.2008
3

[6] “100 prisoners need to find their names”,
http://forums.xkcd.com/viewtopic.php?f=3&t=7435&view=next,
20.05.2008
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