Logik und Diskrete Strukturen, WS 08/09 ... - Universität Bonn

Logik und Diskrete Strukturen, WS 08/09Übungsblatt 12Universität Bonn, Institut für Informatik ILetzter Übungszettel im SemesterAbgabe: Dienstag 27.1.2009, bis 09.10 Uhr, vor HS DAufgabe 1:NormalformenWir betrachten folgende Wahrheitstafel:p q r α0 0 0 00 0 1 00 1 0 10 1 1 11 0 0 01 0 1 11 1 0 01 1 1 1a) Finden Sie einen nur die Variablen p, q, r enthaltenden aussagenlogsichen Ausdruckα in konjunktiver Normalform, welcher die obige Wahrheitstafel liefert.b) Wie Teil a), aber mit disjunktiver Normalform.Aufgabe 2:Äquivalenzrelationen von aussagenlogischen AusdrückenSei A die Menge der aussagenlogischen Ausdrücke, in denen höchstens die Variablen{p, q, r, s, t} vorkommen. Wir definieren eine Relation auf A und A durch:α ∼ β genau dann, wenn für jede Bewertung der Variablen p, q, r, s, t die Aussagen αund β den gleichen Wahrheitswert annehmen.a) Zeigen Sie: ∼ ist eine Äquivalenzrelation.Mit A ∼ bezeichnen wir die Menge der Äquivalenzklassen.b) Für zwei Äquivalenzklassen C 1 , C 2 ∈ A ∼ und aussagenlogische Ausdrücke α ∈C 1 , β ∈ C 2 bezeichnen wir nun diejenige Äquivalenzklasse als F (C 1 , C 2 ), die(α ∧ β) enthält. Zeigen Sie, dass dadurch eine Abbildung F : A ∼ × A ∼ −→ A ∼wohldefiniert ist.c) Bildet (A ∼ , F ) eine Gruppe?Bitte wenden!

Aufgabe 3:Setzen Sie sich auseinander mit:Wiederholung [keine Abgabe vorgesehen]Mengen, Teilmengen, Komplemente, Vereinigung, Kartesisches Produkt, Durchschnitte,Potenzmengen, Mächtigkeit einer Menge, Relationen, Äquivalenzrelationen, Reflexivität,Symmetrie, Transitivität, Abbildungen, Injektivität, Surjektivität, Bijektivität,Wohldefiniertheit, Signaturen, Strukturen, Gruppen, zyklische Gruppen, Assoziativität,Kommutativität, abelsch, Gruppenordnung, Untergruppen, Zahnradproblem,a ≡ b (mod n), Chinesischer Restsatz, Ringe, Restklassenring, Nullteiler, Einheiten,Körper, Kleiner Fermat’scher Satz, Homomorphismen, Isomorphismen, Graphen,Eulersche Graphen, Hamiltonsche Graphen, Planarität, Beispiele nicht planarerGraphen, vollständige Induktion, binomischer Lehrsatz, n!, ( nk), rekursiv definierteFolgen, ggT, Euklidscher Algorithmus und Zahl dafür benötigter Schritte, Primzahlen,Abzählbarkeit/Überabzählbarkeit von Mengen, Schubfachprinzip, Aussagen, Negation,AL(Π), Bewertung, Erfüllbarkeit, Gültigkeit, Wahrheitstafeln, AussagenlogischerKalkül, kontradiktorisch, Zusammenhang von Herleitbarkeit und Gültigkeit, NormalformenHinweise:• Was sind jeweils die zentralen Definitionen und Resultate zu diesen Begriffen?• Welche Zusammenhänge zwischen diesen Begriffen gibt es?• Diskutieren Sie den Stoff mit Ihren Mitstudenten!• Wenn Sie Unsicherheiten verspüren oder Fragen bleiben, nutzen Sie die Übungsgruppenzur Klärung!2