Vorlesung 17.05 ohne Animation zum Ausdrucken

Pledge mit SensorfehlernElmar LangetepeUniversity of BonnOnline Bewegungsplanung Kapitel 2 17.05.2010 c○Elmar Langetepe SS ’10 1

Wiederholung: Pledge Algorithmus• Punktförmiger Roboter/Touch Sensor• Zwei Modi: Folge einer Wand, Folge einer Richtung (exakt)• Drehwinkel-Zähler/Keinen weiteren SpeicherWinkelcounter = 0+−+−+Online Bewegungsplanung Kapitel 2 17.05.2010 c○Elmar Langetepe SS ’10 2

2.1.1 Pledge Algorithmus1. Wähle Winkel ϕ und drehe den Roboter in diese Richtung.2. Gehe in Richtung ϕ, bis der Roboter ein Hindernis erreicht.3. Drehe nach rechts und halte den Kontakt mit der Wand an derlinken Seite des Roboters.4. Folge der Wand und addiere dabei die Drehwinkel, bis der totaleDrehwinkel Null ist, dann GOTO (2).Fehlermöglichkeiten: Drehwinkel zählen, Richtung halten!Online Bewegungsplanung Kapitel 2 17.05.2010 c○Elmar Langetepe SS ’10 3

2.1.2 Pledge Algorithmus mit FehlernPledge-Like Kurve!Def. 2.5 K Klasse von Kurven in C frei ∪ C halb , die folgendeBedingungen erfüllen:1. Parametrisierte Kurve mit Drehwinkel, Position:C(t) = (P (t), ϕ(t)) mit P (t) = (X(t), Y (t))2. Die Kurve umrundet ein Hindernis gegen den Uhrzeigersinn.3. Jeder Absprungpunkt ist Ecke eines Hindernisses.4. C frei -Bedingung:∀t 1 , t 2 ∈ C : P (t 1 ), P (t 2 ) ∈ C frei ⇒ |ϕ(t 1 ) − ϕ(t 2 )| < π5. C halb -Bedingung: ∀h i , t ∈ C : P (t) = P (h i ) ⇒ ϕ(t) − ϕ(h i ) < πOnline Bewegungsplanung Kapitel 2 17.05.2010 c○Elmar Langetepe SS ’10 5

Fehlersituationen!• Bedingung: Fluchtrichtung darf nicht zu sehr abweichen• C frei -Bedingung:∀t 1 , t 2 ∈ C : P (t 1 ), P (t 2 ) ∈ C frei ⇒ |ϕ(t 1 ) − ϕ(t 2 )| < πOnline Bewegungsplanung Kapitel 2 17.05.2010 c○Elmar Langetepe SS ’10 6

Erfüllen Kurven-Definition: Hardware!Kompass mit kleiner Abweichung: Situationen vermeiden!+πh kt kh ip0−ɛ0sOnline Bewegungsplanung Kapitel 2 17.05.2010 c○Elmar Langetepe SS ’10 8

Beweis Korrektheit mit FehlerLemma 2.6 Eine Kurve aus K kann sich nicht selbst kreuzen.Beweis:• Annahme: Erste Kreuzung von C mit t 1 und t 2• Zwischen t 1 und t 2 einfache Schleife: UZS oder gegen UZS• Kreuzung in C frei : Widerspruch zur C frei -Bedingung!• Also Kreuzung in C halbP (t 0 )P (t 3 )P (t 1 ) = P (t 2 )P (t 1 ) = P (t 2 )P (t 3 )Schnitt!P (t 0 )Berührung!Online Bewegungsplanung Kapitel 2 17.05.2010 c○Elmar Langetepe SS ’10 9

Kurve aus K kreuzungsfrei• Erste Schleife: Treffen bei h i , erneutbei h k• Schnitt bei t 2• P (h k ) bei t k mit h i < t k < t 1 ,sonst (ii) nur Berührung• ϕ(h + k ) = ϕ(h k) + γ mit −π < γ < 0• Zwischen t k und h + kvolle Drehung• ϕ(h + k ) = ϕ(t k) − 2π• ϕ(t k ) − ϕ(h k ) < π• ⇔ ϕ(h + k ) + 2π − ϕ(h k) = ϕ(h k ) + γ +2π − ϕ(h k ) < π• ⇔ γ < −π Widerspr.t 1t 2h ih kt kγP (t 1 ) = P (t 2 )(i)h kh iγP (t 1 ) = P (t 2 )(ii)Online Bewegungsplanung Kapitel 2 17.05.2010 c○Elmar Langetepe SS ’10 10

Beweis Korrektheit mit FehlerLemma 2.7 Eine Kurve aus K trifft jede Kante nur einmal.• Widerspruchsbeweis: Ann. C tifft e zweimal• Auftreffen h i (im UZS oder gegen UZS zurück) dann h k• In P (h i ),P (h k ) mit −π < γ i , γ k < 0 nach ϕ(h + i ),ϕ(h+ k )• h + i und h + k folgen Kante e: ϕ(h+ k ) = ϕ(h+ i ) + 2jπ, j ∈ Z• Schleife ohne Schnitt: Zwei Fälle ϕ(h + k ) = ϕ(h+ i ) ± 2π• |ϕ(h − k ) − ϕ(h− i )| = | ± 2π − γ k + γ i | > π• C frei -Bedingung verletzteh iγ iγ kh kleh kγ kh iγ il(i)(ii)Online Bewegungsplanung Kapitel 2 17.05.2010 c○Elmar Langetepe SS ’10 11

Beweis Korrektheit mit FehlerLemma 2.8 Für eine Kurve aus K gilt: Falls ein Hindernis nichtmehr verlassen wird, befinden wir uns im Inneren des Hindernisses.Beweis:• Startpunkt im Free-Space• Wir umrunden nach letzten Hit das Hindernis, jede Runde ±2π• Positiv, dann im Vergleich zu letzten Hitpoint: C halb -Bedingungverletzt• C halb -Bedingung: ∀h i , t ∈ C : P (t) = P (h i ) ⇒ ϕ(t) − ϕ(h i ) < π• Deshalb immer negativ! Innenraum!Online Bewegungsplanung Kapitel 2 17.05.2010 c○Elmar Langetepe SS ’10 12

Beweis Korrektheit mit FehlerTheorem 2.9 Eine Kurve aus K entkommt dem Labyrinth, falls dasüberhaupt geht.• Startpunkt im Free-Space• Annahme: Es gibt einen Weg!• Nach Lemma 2.8 muss jedes Hindernis wieder verlassen werden• Nach Lemma 2.7 treffen wir jede Kante nur einmal• Nach endlich vielen Treffen muss das Labyrinth verlassen werdenOnline Bewegungsplanung Kapitel 2 17.05.2010 c○Elmar Langetepe SS ’10 13

Verwendung eines Kompanten!Korollar 2.10 Durch die Verwendung eines Kompanten mitabsoluter Abweichung von maximal π 2kann man ein polygonalesLabyrinth verlassen, falls das überhaupt geht.• Im Free-Space Winkelbereich (− π 2 , +π 2 )• Richtung im Free-Space weicht maximal um π ab!• C frei -Bedingung: erfüllt!• Auf dem Rand der Polygone maximaler Wert + π 2• Im Free-Space minimal − π 2• Zusammen: ∀h i , t ∈ C : P (t) = P (h i ) ⇒ ϕ(t) − ϕ(h i ) < π erfüllt!• C halb -Bedingung: erfüllt!Online Bewegungsplanung Kapitel 2 17.05.2010 c○Elmar Langetepe SS ’10 14

Weitere Anwendungen! Drehmesser!• Weg im Free-Space ungefähr in Ordnung!• Also Hit mit Winkel max. β j = ±ɛ von der Ausgangsrichtung!• Hängt von Verlassen ab! Drehwinkelmessung macht Probleme• Fehler können sich gegenseitig aufheben!• Fehler β i bei Drehung i, positiv oder negativ• Garantieren: ∣ ∑ li=k β i∣ < π/2• Free-Space: festes π-Intervall [l, r], l ≤ 0, r − l ≤ π• Auf Hindernissen: maximal +π/2, Free-Space minimal: −π/2• Zusammen ∀h i , t ∈ C : P (t) = P (h i ) ⇒ ϕ(t) − ϕ(h i ) < πKorollar 2.11 Falls für Ausgangsrichtungs- und Drehwinkelfehlerstets: ∣ ∑ li=k β i∣ < π/2 für k ≤ l gilt, kann der Agent der Umgebungentkommen.Online Bewegungsplanung Kapitel 2 17.05.2010 c○Elmar Langetepe SS ’10 15

Weitere Anwendungen! Szene!• Szene erfüllt bestimmte Bedingungen!• Orthogonale Szene: Achsenparallele Kanten• Rechts-Turn, Links-Turn, zählen +1, -1, exakter Absprung!• Drehrichtung am Polygon erkennen!• Im Free-Space: z.B: Richtung (− π 2 , +π 2 ) einhalten• Horizontale Kante• Vertikale Kante ignorieren: Entlangschieben!00+−+−−++ +−−Online Bewegungsplanung Kapitel 2 17.05.2010 c○Elmar Langetepe SS ’10 16

Weitere Anwendungen! Szene!Korollar In achsenparallelen Szene und beim Einhalten einerRichtung im Winkelbereich (− π 2 , +π 2) kann der Agent der Umgebungentkommen, wenn er Drehrichtungen erkennt, und horizontale undvertikale Kanten unterscheiden kann.00+−+−−++ +−−Online Bewegungsplanung Kapitel 2 17.05.2010 c○Elmar Langetepe SS ’10 17

Weitere Anwendungen! Szene pseudo-orthogonal• Leichte Abweichungen an Knoten! Absolutes Koordinatenkreuz!• 1. Bedingung: Anzahl konvex Ecke = Anzahl reflexe Ecken + 4• Insgesamt nur leichte Abweichungen!• div(e) : e = (v, w) kleinste Winkelabweichung von einerHorizontalen/Vertikalen durch v und w• div(P ) := max e∈P div(e) ≤ δ0+−+−0div(e 1 )e 1e 2−++ +div(e 2 )(i)−−(ii)Online Bewegungsplanung Kapitel 2 17.05.2010 c○Elmar Langetepe SS ’10 18

Definition: δ-pseudo-orthogonal• Anzahl konvex Ecke = Anzahl reflexe Ecken + 4• div(P ) := max e∈P div(e) ≤ δ• Def. 2.12 δ-pseudo orthogonale Szene0+−+−0div(e 1 )e 1e 2−++ +div(e 2 )(i)−−(ii)Online Bewegungsplanung Kapitel 2 17.05.2010 c○Elmar Langetepe SS ’10 19

Weitere Anwendungen! Szene pseudo-orthogonal• Leichte Abweichungen δ an reflexen und konvexen Ecken• div(P ) := max e∈P div(e) ≤ δ• Dazu Messgenauigkeit ρρδe 1e 2 δδρe 1γγconvex vertexδe 1reflex vertexOnline Bewegungsplanung Kapitel 2 17.05.2010 c○Elmar Langetepe SS ’10 20

Szene δ-pseudo-orthogonalKorollar 2.13 δ-pseudo-orthogonale Szene P gegeben. MessenWinkel in Genauigkeit ρ mit δ + ρ < π 4. Weichen im Free-Spacenicht weiter als π 4− 2δ − ρ von der Ausgangsrichtung ab.Entkommen aus dem Labyrinth!1. Reflexe und konvexe Ecken unterscheiden: Drehungen am Polygonrichtig zählen!2. Maximale Abweichung von der Ausgangsrichtung! InsgesamtIntervall π3. Unterscheidung: Horizontal/VertikalBeweis: Tafel!Online Bewegungsplanung Kapitel 2 17.05.2010 c○Elmar Langetepe SS ’10 21

Szene δ-pseudo-orthogonal• δ-pseudo-orthogonale Szene P• Genauigkeit ρ mit δ + ρ < π 4• Free-Space nicht weiter als π 4 − 2δ − ρ• 1. Reflexe und konvexe Ecken unterscheiden: Drehungen amPolygon richtig zählen!ρδe 1e 2 δδρe 1γγconvex vertexδe 1reflex vertexOnline Bewegungsplanung Kapitel 2 17.05.2010 c○Elmar Langetepe SS ’10 22

Szene δ-pseudo-orthogonal• δ-pseudo-orthogonale Szene P• Genauigkeit ρ mit δ + ρ < π 4• Free-Space nicht weiter als π 4 − 2δ − ρ• 3. Unterscheidung Horizonzal/Vertikale0 ϕγϕγ = − π ρ2δ eh ieh i − π 2ϕ = 0(i) (ii) (iii)h i0γρδOnline Bewegungsplanung Kapitel 2 17.05.2010 c○Elmar Langetepe SS ’10 23

Szene δ-pseudo-orthogonal• δ-pseudo-orthogonale Szene P• Genauigkeit ρ mit δ + ρ < π 4• Free-Space nicht weiter als π 4 − 2δ − ρ• 2. Maximale Abweichung von der Ausgangsrichtung! InsgesamtIntervall π• Absprung in [−δ, δ]• Und Abweichung für nächsten Hit einhalten: π 4 − 2δ − ρOnline Bewegungsplanung Kapitel 2 17.05.2010 c○Elmar Langetepe SS ’10 24