Pfade in Dreiecks- und Sechseckgittern - Universität Bonn

Rheinische Friedrich-Wilhelms-Universität BonnInstitut für Informatik INorman JaklinPfade in Dreiecks- undSechseckgittern19. Juni 2008Seminararbeit im Sommersemester 2008

ZusammenfassungDas Entscheidungsproblem, ob ein gegebener Graph einen HamiltonischenKreis enthält, ist als klassisches Problem der Informatik alsNP-vollständig bekannt.Im Folgenden wird gezeigt, dass sowohl für allgemeine Dreiecksgitteralsauch für hexagonale Gittergraphen das Problem NP-vollständigbleibt. Für eine speziellere Klasse von Dreiecksgittergraphen, die Klasseder zusammenhängenden und lokal zusammenhängenden Dreiecksgittergraphen,lässt sich ein Hamiltonischer Kreis jedoch in polynomiellerZeit finden.Inhaltsverzeichnis1 Einführung 22 Hamiltonkreise in Dreiecksgittergraphen 32.1 Die NP-Vollständigkeit von HC auf Dreiecksgittergraphen . . 42.1.1 Einbettung von B in slope graph G 1 . . . . . . . . . . 52.1.2 Skalierung von G 1 , 7-Cluster und T entakel . . . . . . 82.1.3 Die Reduktion des Problems . . . . . . . . . . . . . . 122.2 Weitere Resultate zu Hamiltonkreisen auf Dreiecksgittergraphen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 Hamiltonkreise in hexagonalen Gittergraphen 193.1 Erstellung eines drawings D(B) aus B . . . . . . . . . . . . . 213.2 Simulation der einzelnen Elemente von D(B) durch gadgetsund Zusammensetzung zu G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.3 Die Reduktion des Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 Zusammenfassung und Ausblick 261

1 EinführungIn dieser Arbeit werden Dreicksgittergraphen und hexagonale Gittergraphenin Bezug auf das Hamiltonkreisproblem näher untersucht. Als Hauptquellensind zum einen die Arbeit von Gordon, Orlovich und Werner [1] zu nennen,welche sich mit Dreiecksgittergraphen beschäftigt, und zum anderendie Arbeit von Islam, Meijer, Núñez, Rappaport und Xiao [2], in denendie hexagonalen Gittergraphen genauer untersucht werden. Beide Arbeitenwurden im Jahre 2007 veröffentlicht.Für allgemeine Graphen ist das Hamiltonkreisproblem als NP-vollständigbekannt. In der Vergangenheit wurde die Komplexität des Problems in Hinblickauf spezielle Klassen von Graphen untersucht, darunter auch die Klasseder Gittergraphen, deren Knoten Punkte eines Gitters sind, welches eineregelmäßige Kachelung der Ebene induziert, und deren Kanten jeweils Einheitslängebesitzen.Itai, Papdimitriou und Szwarcfiter [3] zeigten 1981 die NP-Vollständigkeitdes Problems auf Rechtecksgittergraphen, also auf knoteninduzierten Subgraphendes unendlichen Rechtecksgitters, deren Knoten sich stets durchganzzahlige Werte beschreiben lassen und deren Kanten jeweils zwei Knotenverbinden, deren Abstand genau 1 beträgt. Die in besagter Arbeit verwendeteBeweisidee liegt in sehr ähnlicher Form auch dem Beweis von [1] undsomit den hier vorgestellten Ausführungen zugrunde.Auch Polishchuk, Arkin und Mitchell [6] zeigten bereits im Jahr zuvor imRahmen der Canadian Conference on Computational Geometrie 2006 dieNP-Vollständigkeit des Problems auf Dreiecksgittergraphen und die polynomielleLösbarkeit für eine spezielle Unterklasse von Dreiecksgittergraphen,werden aber nicht in der hier zugrunde liegenden Arbeit von Gordon, Orlovichund Werner [1] erwähnt.In den folgenden Kapiteln wird nun genauer auf die in den beiden Hauptquellengezeigten Resultate eingegangen. In Kapitel 2 wird die NP-Vollständigkeitdes Hamiltonkreisproblems auf Dreiecksgittergraphen sowie einige weiterführendeResultate gezeigt. Auch das Hamiltonpfadproblem von zwei gegebenen Knotenv nach w wird dort kurz betrachtet. Kapitel 3 beschäftigt sich mit derNP-Vollständigkeit des Problems auf hexagonalen Gittergraphen.Zunächst sei an dieser Stelle noch die Definition des Hamiltonkreisproblemsgegeben, auf welches sich die nachfolgenden Kapitel beziehen.Definition 1Hamiltonian Cycle P roblem (im Folgenden kurz: HC)Instanz: ein Graph GFrage: Enthält G einen Hamiltonkreis, d.h. gibt es einen Kreis in G,der alle Knoten genau einmal enthält?2

2 Hamiltonkreise in DreiecksgittergraphenIn diesem Kapitel wird das Hamiltonkreisproblem auf Dreiecksgittergraphengenauer untersucht. Dazu definieren wir zunächst, was unter einem solchenGraphen zu verstehen ist.Definition 2triangular tiling graphSei T ∞ = (V (T ∞ ), E(T ∞ )) ein unendlicher Graph, welcher die Ebene inregelmäßige Dreiecke teilt und folgendermaßen definiert ist:• V (T ∞ ) = { v = xp + yq | x, y ∈ ZZ, p = (1, 0), q = ( 1 2 , √ 32 ) }• E(T ∞ ) = { (v, w) | v, w ∈ V (T ∞ ), |vw| = 1 }Die Knoten von T ∞ √ lassen sich also als Linearkombination xp + yq vonp = (1, 0) und q = ( 1 2 , 32) darstellen und sind jeweils paarweise genau dannüber eine Kante miteinander verbunden, wenn ihr Euklidischer Abstandgenau 1 beträgt. Ein endlicher Ausschnitt von T ∞ ist in Abbildung 1 zusehen.Abbildung 1: Der Graph T ∞ (Quelle: [1])Ausgehend von obiger Definition des triangluar tiling graph lässt sichein Dreiecksgittergraph (triangular grid graph) nun folgendermaßen definieren:Definition 3DreiecksgittergraphEin Dreiecksgittergraph (triangular grid graph) G = (V, E) ist einendlicher knoteninduzierter Subgraph von T ∞ .Wie Abbildung 2 zeigt, kann ein Dreiecksgittergraph G auch einzelneisolierte Knoten (wie etwa Knoten w in Abbildung 2) sowie Liniensegmenteenthalten, welche keine Dreiecksstrukturen bilden.3

Abbildung 2: Ein Dreiecksgittergraph (nach: [1], eigene Überarbeitung)2.1 Die NP-Vollständigkeit von HC auf DreiecksgittergraphenIn folgendem Theorem halten wir das zentrale Resultat von Kapitel 2 fest:Theorem 4Das Problem HC ist NP-vollständig für Dreiecksgittergraphen.Beweis. Dass das Problem selbst in NP liegt, ist leicht einzusehen, da einenichtdeterministische Turingmaschine die Lösung in polynomieller Zeitfinden kann.Es bleibt also die NP-Härte des Problems zu zeigen. Dazu wird nunim Folgenden eine polynomielle Reduktion vom Hamiltonkreisproblem aufplanaren, kubischen und bipartiten Graphen auf unser vorliegendes Problem(HC auf Dreiecksgittergraphen) durchgeführt.Diese Reduktion zeigt die NP-Härte des Problems, da HC auf planaren,kubischen und bipartiten Graphen bereits von Plesnik [5] als NP-Vollständigbewiesen wurde.Zur Erinnerung seien die obigen Begriffe an dieser Stelle noch einmal imEinzelnen definiert:Definition 5Ein Graph G = (V, E) heißt...• ...planar, wenn er sich kreuzungsfrei in die Ebene einbetten lässt.• ...kubisch, wenn von jedem seiner Knoten genau drei Kanten ausgehen,also: ∀ v ∈ V : deg(v) = 3• ...bipartit, wenn gilt:1. V =(V 1 , V 2 ), V 1 ∩ V 2 = ∅2. ∀ (v, w) ∈ E [(v ∈ V 1 ∧ w ∈ V 2 ) ∨ (w ∈ V 1 ∧ v ∈ V 2 )]4

Um die gewünschte Reduktion durchzuführen, wird nun zu einem gegebenenplanaren, kubischen und bipartiten Graphen B ein DreiecksgittergraphG konstruiert, so dass gilt:B enthält einen Hamiltonkreis ⇐⇒ G enthält einen HamiltonkreisDie Konstruktion von G gliedert sich in zwei Teilschritte, auf die nachfolgendnäher eingegangen wird:1. Einbettung von B in einen sogenannten slope graph G 12. Skalierung von G 1 , Einfügen von 7-Clustern und T entakeln2.1.1 Einbettung von B in slope graph G 1Zunächst definieren wir, was unter einem slope graph zu verstehen ist.Definition 6slope grid graphAusgehend von dem eingangs definierten Graph T ∞ (siehe Abbildung 1)wird der unendliche slope grid graph S ∞ definiert, welchen man aus T ∞durch Entfernen aller Kanten erhält, die von links oben nach rechts untenlaufen. Abbildung 3 verdeutlicht dies, wobei dort die zu entfernenden Kantengestrichelt eingezeichnet sind. Die Knotenmenge von S ∞ entspricht dabeiweiterhin der Knotenmenge von T ∞ , also gilt:V (S ∞ ) = {v = xp + yq | x, y ∈ ZZ, p = (1, 0), q = ( 1 2 , √ 32 )}Abbildung 3: S ∞ entsteht aus T ∞ durch Entfernen der gestrichelten Kanten(Quelle: [1])Definition 7slope graphEin slope graph S(m, n) ist ein endlicher knoteninduzierter Subgraphvon S ∞ .5

Identifiziert man die Knoten von S(m, n) mit Paaren (x, y) von ganzzahligenWerten x und y, indem man die tatsächlichen Koordinaten eines Knotenaußer Acht lässt und nur die in der Definition der Knotenmenge auftauchendenWerte x und y ∈ ZZ heranzieht, so hat ein Knoten (x, y) ∈ V (S ∞ )die vier Nachbarknoten (x + 1, y), (x − 1, y), (x, y + 1) und (x, y − 1). Nunkönnen wir die Knotenmenge (und insbesondere die Bedeutung der ganzzahligenParameter m und n) von S(m, n) definieren durch:V (S(m, n)) = {(x + i, y + j) | 0 ≤ i ≤ m − 1, 0 ≤ j ≤ n − 1}Ein solcher slope graph wird also durch m und n bis auf Isomorphie (denndurch Wahl von x und y kann die genaue Position des Graphen in der Ebeneverschoben werden) bestimmt.Im Beweis der NP-Vollständigkeit von HC auf Rechtecksgittergraphenverwenden Itai et al. [3] einen ähnlichen Graphen R(m, n), welcher einendurch m und n bestimmten Rechtecksgittergraphen beschreibt. Der hierverwendete Graph S(m, n) ist zu diesem isomorph, da er nur durch eineVerschiebung der einzelnen quadratischen Kacheln zu Parallelogrammenentsteht, indem die jeweilgen Punkte oben links in jedem Quadrat so weitnach rechts geschoben werden, dass ihre x-Koordinate genau auf der Mitteder Strecke zwischen den beiden unteren Punkten des Quadrats liegt (sieheAbbildung 4).Abbildung 4: Ein bipartiter slope Graph S(m, n) mit m=4 und n=5Dass G 1 bipartit ist, lässt sich leicht einsehen. Wählt man einen beliebigenKnoten v im slope graph G 1 aus und ordnet ihm einer der beidenPartitionen der Knotenmenge zu, so lassen sich alle übrigen Knoten, derenDistanz zu v gerade ist, ebenfalls in die gleiche Partition einordnen, dierestlichen Knoten mit ungerader Distanz zu v werden der anderen Partitionzugeordnet (man beachte, dass die Distanz zwischen zwei Knoten v und wder Anzahl Kanten auf einem kürzesten Pfad zwischen v und w entspricht,da nach Definition des slope graphs alle Kanten die Länge 1 haben). In Abbildung4 wird dies verdeutlicht, wobei die Knotenmenge in eine Partitionvon schwarzen und eine Partition von weißen Knoten unterteilt ist.Nun können wir die Einbettung emb: B −→ G 1 des bipartiten, kubischen,planaren Graphen B in einen slope graph G 1 vornehmen. Wir wir6

sehen werden, lässt sich B für n=|V (B)| in G 1 (kn, kn) (für eine Konstantek) einbetten.Wähle emb nun so, dass gilt:• emb bildet alle v ∈ V 0 auf weiße Knoten von G 1 ab.• emb bildet alle v ∈ V 1 auf schwarze Knoten von G 1 ab.• emb bildet alle e = (v, w) ∈ E auf Pfade zwischen emb(v) und emb(w)in G 1 ab, so dass zwei Pfade jeweils nur höchstens ihre Endpunktegemeinsam haben und ansonsten knotendisjunkt sind.Abbildung 5: Ein bipartiter, kubischer, planarer Graph B und seine EinbettungG 1 =emb(B)Man beachte, dass emb so gewählt ist, dass auch die Partitionierung derKnotenmenge erhalten bleibt, dass also für je zwei beliebige Knoten v undw gilt:v und w sind in der gleichen Partition ⇐⇒ emb(v) und emb(w) sind in dergleichen Partition.In Abbildung 5 ist ein Beispiel für eine solche Einbettung zu sehen.Ganz ähnlich betten auch Itai et al. [3] ihren zugrunde liegenden bipartitenGraphen in einen Rechtecksgittergraphen ein. Dort wird gezeigt, dassfür einen bipartiten, kubischen, planaren Graphen mit n Knoten eine solcheEinbettung in einen Rechtecksgittergraphen R(kn, kn) für eine Konstantek in polynomieller Zeit realisiert werden kann. Da unser vorliegenderslope graph G 1 isomorph zu R ist, gilt dieses Resultat folglich auch für G 1 ,7

und wir können B mit n Knoten in G 1 (kn, kn) in polynomieller Zeit einbetten.Somit ist Schritt 1 unserer Konstruktion abgeschlossen, und wir wendenuns dem zweiten Schritt zu.2.1.2 Skalierung von G 1 , 7-Cluster und T entakelIm nun folgenden Schritt wird der soeben konstruierte slope graph G 1zunächst um den Faktor 7 skaliert. Das heißt, jede Kante von G 1 wird ineinen Pfad von je 7 Kanten transformiert.Da das Ziel unserer Konstruktion ein Dreiecksgittergraph G ist, werdenin G 1 nun die Kanten ergänzt, welche in einem Dreiecksgittergraph von obenlinks nach unten rechts verlaufen. Dies geschieht ähnlich wie die Transformationvon T ∞ zu S ∞ , nur dass die entsprechenden Kanten nun ergänztstatt entfernt werden. Den resultierenden Graph nennen wir G ′ 1 .Man beachte, dass in G ′ 1 beim momentanen Stand der Konstruktion zweiArten von Knoten auftreten: Zum einen sind dies Knoten, deren Urbilderunter der Einbettungsfunktion emb bereits in B vorkommen, zum anderenenthält G ′ 1 zahlreiche Knoten, die durch Anlegen der Pfade zwischen ersterenKnoten und anschließender Skalierung entstanden sind.Die eigentlichen, als Urbilder bereits in B auftauchenden Knoten, werdennun jeweils durch ein 7-Cluster ersetzt (siehe Abbildung 6), also einer Mengevon sieben Knoten, von denen sechs im Kreis um einen zentralen Knotenangeordnet sind. Die Farbe beziehungsweise Parität des zentralen Knotenseines 7-Clusters wird dabei vom ursprünglichen Knoten übernommen unddie übrigen sechs Knoten entsprechend der vorherigen Konstruktion gefärbt.Abbildung 6: Ein Knoten (x, y) und sein 7-Cluster (Quelle: [1])Im letzten Schritt der Konstruktion von G werden jetzt die Kanten vonB, welche bisher als Pfade in G ′ 1 auftraten, durch sogenannte T entakel modelliertund die bisherigen Pfade in G ′ 1 mit diesen Tentakeln ersetzt. EinTentakel ist aus einem bis mehreren strips aufgebaut, welche wir zunächsteinmal definieren wollen:8

Definition 8stripEin Dreiecksgittergraph D heißt strip, wenn D isomorph zum GraphenP 2 k ist. Dabei ist P k ein beliebiger Pfad über k ≥ 4 Knoten und seinQuadratP 2 k definiert als derjenige Graph mit Knotenmenge V (P 2 k )=V (P k),in dem je zwei Knoten genau dann über eine Kante verbunden sind, wennihre Distanz in P k höchstens 2 beträgt.Abbildungen 7 bis 9 zeigen exemplarisch die möglichen Orientierungeneines strips für k=4, k=5 und k=6 Knoten. Wie man leicht sehen kann,besitzt jeder strip genau zwei T erminaldreiecke (’Ohren’), also Dreieckemit je zwei Kanten, die zu keinem anderen Dreieck des strips gehören, undmit denen der strip ’endet’ bzw ’terminiert’. Für k=4 besteht ein strip nuraus seinen beiden Terminaldreiecken und besitzt keine weiteren internenDreiecke.Abbildung 7: mögliche Orientierungen eines strips über 4 KnotenAbbildung 8: Orientierungen eines strips über 5 Knoten (Quelle: [1])Abbildung 9: Orientierungen eines strips über 6 Knoten (Quelle: [1])Nun können wir definieren, was unter einem T entakel zu verstehen ist.9

Definition 9T entakelEin T entakel ist ein Dreiecksgittergraph, der aus einem oder mehrerenstrips über je k Knoten aufgebaut ist, wobei die einzelnen strips durch Kantenihrer Terminaldreiecke miteinander verbunden sind.Abbildung 10 zeigt sechs verschiedene Möglichkeiten, wie mehrere stripszu einem Tentakel zusammengesetzt werden. Die dort gezeigten Möglichkeitensind die einzigen, welche im Folgenden zur Konstruktion von G benötigt undverwandt werden. Natürlich kann ein Tentakel auch einen Pfad in G ′ 1 ohneBiegungenen repräsentieren, hierfür benötigt man jedoch nur ein einzigesstrip, dessen Knotenzahl k entsprechend angepasst werden kann.Abbildung 10: Zusammensetzungen von mehreren stips zu einem Tentakeln(Quelle: [1])Wir sind nun also in der Lage, die geradlinigen Pfade in G ′ 1 durch entsprechendgewählte Tentakel zu ersetzen. Als nächstes gilt es, auch die Pfademit Biegungen, welche also unterwegs Richtungsänderungen vornehmen,ebenfalls duch die soeben definierten Tentakel zu ersetzen.Hierzu beachte man, dass in G ′ 1 aufgrund der Konstruktion nur vierverschiedene Typen von Biegungen der Pfade auftauchen können. Diese vierTypen sind in Abbildung 11 dargestellt.Abbildung 11: Biegungen der Pfade im slope Graph (Quelle: [1])Die bereits in Abbildung 10 gezeigten Tentakel lassen sich nun in derTat dazu verwenden, alle vier Pfad-Biegungen zu repräsentieren. Pfade vom10

Typ I und II in Abbildung 11 sind sofort und ohne weiteres Zutun durchTentakel vom Typ 1 und 2 in Abbildung 10 repräsentiert. Für Pfade vomTyp III setzt man hingegen Tentakel vom Typ 5 und 3 zusammen, für Pfadevom Typ IV verwendet man entsprechend Tentakel vom Typ 4 und 6, sowie es in Abbildung 12 dargestellt ist.Abbildung 12: Zusammensetzung von Tentakeln zur Simulation von Pfadenvom Typ III (links) und IV (rechts) (Quelle: [1])Somit lassen nun alle Pfade in G ′ 1 durch entsprechende Tentakel ersetzen.Um die Konstruktion von G abzuschließen ist nun noch zu klären, wie dieeinzelnen Tentakel mit den 7-Clustern verbunden werden.Hierzu betrachte die in Abbildung 13 aufgelisteten Möglichkeiten. Manbeachte, dass jeder 7-Cluster genau drei angrenzende Tentakel besitzt, dadie 7-Cluster Repräsentationen der Knoten in B sind und B wiederum alskubisch angenommen war.Abbildung 13: geeignete Verbindungen von T entakeln mit 7-Clustern(Quelle: [1])Wie man weiterhin sieht, reichen grundsätzlich vier Möglichkeiten derVerbindung zwischen Tentakeln und 7-Clustern aus. Wichtig für den anschließendenBeweis ist jedoch, dass 7-Cluster mit schwarzem zentralen Knotenanders mit ihren drei angrenzenden Tentakeln verbunden werden alsdie 7-Cluster mit weißem zentralen Knoten. Bei erstgenannten werden jeweilsspezielle ’Brückenkanten’ zwischen 7-Cluster und Tentakel verwandt,11

während bei den anderen 7-Clustern die Tentakel nahtlos an das Cluster gelegtwerden. Dies hat den Grund, dass von 7-Clustern mit weißem zentralenKnoten aus sogenannte Rückkehrpfade definiert werden können, welche dieKnoten eines Tentakels vollständig besuchen, ohne das eigentliche 7-Clustermit schwarzem zentralen Knoten, was an das besuchte Tentakel angrenzt,zu betreten (siehe später den entsprechenden Beweis der Reduktion für genauereDetails).Somit ergeben sich also insgesamt die acht in Abbildung 13 dargestelltenMöglichkeiten, die 7-Cluster mit den Tentakeln zu verbinden. Der resultierendeGraph ist nun schließlich unser gewünschter Dreiecksgittergraph Gund die Konstruktion hiermit abgeschlossen. Abbildungen 14 und 15 zeigendie Skalierung G ′ 1 und den fertigen Graph G mit seinen Clustern undTentakeln für das zuvor demonstrierte Beispiel aus Abbildung 5.Abbildung 14: Skalierung von G 1 um Faktor 7 und Ergänzung der diagonalenKanten zum Dreiecksgittergraph2.1.3 Die Reduktion des ProblemsNach der Konstruktion von G aus dem gegebenen Graphen B können wiruns nun der eigentlichen Reduktion des Hamiltonkreisproblems zuwenden.Es ist klar, dass die Konstruktion von G aus B nicht mehr als polynomielleZeit bezüglich der Anzahl Knoten und Kanten von B benötigt. Es bleibtalso zu zeigen:B besitzt einen Hamiltonkreis ⇐⇒ G besitzt einen Hamiltonkreis (1)Beweis. Zunächst definieren wir den Begriff des bereits im letzten Abschnittkurz erwähnten Rückkehrpfads (return path) sowie den des Zickzackpfads(cross path).12

Abbildung 15: der fertige Graph G mit 7-Clustern und TentakelnSei T ein Tentakel und seien u und v zwei Knoten von T , welche dieäußeren Knoten von Terminaldreiecken von T bilden. Von solchen besitztjedes Tentakel genau vier. Man sieht leicht, dass es in T nur zwei Arten vonHamiltonpfaden von u nach v geben kann, also Pfade von u nach v, die alleKnoten von T beinhalten.Die erste Möglichkeit eines Hamiltonpfades von u nach v ist der desRückkehrpfades (return path). Liegen u und v auf dem gleichen Terminaldreieckund sind somit benachbart, so ist der in Abbildung 16 (links)dargestellte Rückkehrpfad von u nach v der einzig mögliche Hamiltonpfadvon u nach v in T . Der Rückkehrpfad ist in diesem Fall eindeutig bestimmt.Die zweite Mögichkeit eines Hamiltonpfades von u nach v ist der desZickzackpfades (cross path). Ein solcher ist dann gegeben, wenn u undv nicht benachbart sind, also auf verschiedenen Terminaldreiecken von Tliegen. Es kann mehrere Zickzackpfade als Hamiltonpfade von u nach v inT geben (siehe Abbildung 16).”=⇒”: Wenn B einen Hamiltonkreis C B besitzt, können wir einen entsprechendenHamiltonkreis C G aufgrund der Konstruktion von G leicht angeben.Betrachte jede Kante e = (v, w) von B und das in G zu dieser Kante korrespondierendeTentakel T e . Entweder ist e Teil des Hamiltonkreises C B , undwir können alle Knoten von T e in G durch einen Zickzackpfad besuchen,oder e gehört nicht zu C B , und wir besuchen alle Knoten von T e entlangeines Rückkehrpfades.Wie im vorangegangenen Abschnitt bereits erwähnt, sind die drei angrenzendenTentakel eines 7-Clusters mit schwarzem zentralen Knoten über13

Abbildung 16: Rückkehrpfad (links), Zickzackpfad (mitte) und alternativerZickzackpfad (rechts) in einem Tentakel(Quelle: [1])je eine einzelne ’Brückenkante’ mit dem Cluster verbunden. Wir wählen nundie eben bestimmten Rückkehrpfade so, dass sie stets von einem 7-Clustermit weißem zentralen Knoten aus beginnen und auch wieder in den selbigenzurückkehren. Auf diese Weise wird die jeweilige ’Brückenkante’ am Endeeines Tentakels, welches mittels eines Rückkehrpfades vollständig besuchtwird, nicht verwendet, und der Pfad mündet erneut in den 7-Cluster, inwelchem er gestartet ist. Wir besuchen das Tentakel folglich, ohne es wirklichals Wechsel vom angrenzenden Cluster mit weißem zentralen Knotenzum gegenüberliegenden Cluster mit schwarzem zentralen Knoten zu verwenden,und simulieren somit die Nichtverwendung der korrespondierendenKante in C B .Es bleibt zu bestimmen, wie genau ein einzelnes 7-Cluster besucht wird.Im Falle eines Clusters mit weißem zentralen Knoten verwenden wir genaueines der drei Tentakel, um mittels eines Zickzackpfades das Cluster erstmaligzu erreichen. Das zweite Tentakel, deren korrespondierende Kante inC B nicht verwendet wird, besuchen wir mittels eines Rückkehrpfades aufdie soeben beschriebene Weise, während das dritte Tentakel wiederum übereinen Zickzackpfad besucht wird, um vom aktuellen Cluster in das nächste(mit schwarzem zentralen Knoten) zu gelangen.Die Knoten dazwischen (innerhalb des Clusters selbst) arbeiten wir folgendermaßenab (vergleiche Abbildung 17): Bezeichne den zentralen weißenKnoten mit c, das Tentakel, welches wir über einen Rückkehrpfad besuchen,mit T r , das Tentakel, von welchem wir über einen Zickzackpfad zum aktuellenCluster gelangen mit T 1 und das verbleibende dritte Tentakel, überwelches wir den Cluster über einen Zickzackpfad wieder verlassen, mit T 2 .Bezeichne weiterhin die beiden Knoten, welche das Cluster und T r gemeinsamhaben, mit x 1 und x 2 . Aufgrund der Wahl, wie die drei Tentakel mit denClustern verbunden sind, gibt es dann eindeutige Knoten a 1 und a 2 , wobeia i benachbart zu x i ist und a i sowohl zum Cluster als auch zu T i gehört (füri ∈ {1, 2}). Wir können die Zickzackpfade über T 1 und T 2 so legen, dass siein a 1 enden bzw in a 2 beginnen. Nun fügen wir die Kanten (a 1 , x 1 ), (x 2 , c)und (c, a 2 ) zu C G hinzu, wodurch wir alle Knoten des Clusters abdecken.14

Abbildung 17: Traversierung eines 7-Clusters mit weißem zentralen KnotenDie 7-Cluster mit schwarzem zentralen Knoten besuchen wir folgendermaßen(vergleiche Abbildung 18): Bezeichne die drei angrenzenden Tentakelanalog wie eben mit T r , T 1 und T 2 . Dann gibt es eindeutig bestimmte Knotenauf T 1 und T 2 , welche unmittelbar nach beziehungsweise vor den bereitserwähnten ’Brückenkanten’ liegen und zu den Tentakeln, aber nicht zumCluster gehören. Bezeichne diese entsprechend mit b 1 und b 2 . Nun besuchenwir das Cluster, indem wir einen von mehreren möglichen Pfaden von b 1nach b 2 über alle Knoten des Clusters wählen. Das Tentakel T r benötigenwir an dieser Stelle nicht, da es von einem anderen Cluster mit weißemzentralen Knoten aus mittels eines Rückkehrpfades abgedeckt wird.Abbildung 18: Traversierung eines 7-Clusters mit schwarzem zentralen KnotenAuf diese Weise erhalten wir schließlich einen Hamiltonkreis C G .”⇐=”: Sei nun ein Hamiltonkreis C G in G gegeben. Wie wir gesehen haben,gibt es in G nur zwei Arten von Hamiltonpfaden für jedes Tentakel, undjedes Tentakel wird entweder durch einen Rückkehrpfad oder einen Zickzackpfadabgedeckt. Ganz analog zur Argumentation der zuvor gezeigtenBeweisrichtung wählen wir in B diejenigen Kanten aus, deren korrespondierendeTentakel in C G durch Zickzackpfade besucht werden.Die Menge der so gewählten Kanten bildet einen Hamiltonkreis in B,15

und Behauptung (1) ist bewiesen.✷Insgesamt haben wir eine Polynomialzeit-Reduktion von HC in planaren,kubischen, bipartiten Graphen auf HC in Dreiecksgittergraphen hergestellt.Aufgrund der von Plesnik [5] bewiesenen NP-Vollständigkeit von HC in planaren,bipartiten und kubischen Graphen folgt somit die NP-Vollständigkeitvon HC auf Dreiecksgittergraphen.✷2.2 Weitere Resultate zu Hamiltonkreisen auf DreiecksgittergraphenGordon, Orlovich und Werner [1] machen in der hier zugrunde liegendenArbeit einige Beobachtungen über Dreiecksgittergraphen, welche die Eigenschaftdes lokalen Zusammenhangs (locally connected triangular gridgraphs) erfüllen. Auf diese werden wir an dieser Stelle kurz eingehen, dasie einige interessante weiterführende Resultate für das Hamiltonkreisproblemauf Dreiecksgittergraphen liefern.Definition 10lokal zusammenhängend (locally connected)Sei G=(V, E) ein Graph. Für einen Knoten v ∈ V sei seine NachbarschaftN(v) definiert durch N(v) = { w ∈ V | ∃ e = (v, w) ∈ E oder e = (w, v) ∈ E},also durch die Menge aller Knoten w, welche mit v über eine Kante aus Everbunden sind.Ein Knoten v ∈ V heißt lokal zusammenhängend, wenn G(N(v)) zusammenhängendist. Dabei bezeichne G(N(v)) den durch die KnotenmengeN(v) ⊆ V knoteninduzierten Subgraphen von G.Der Graph G heißt lokal zusammenhängend, wenn alle seine Knotenlokal zusammenhängend sind.Man beachte, dass die Begriffe ’zusammenhängend’ und ’lokal zusammenhängend’voneinander unabhängig sind, dass also eine der Eigenschaftennicht aus der jeweils anderen folgt. Beispiele für Graphen, die zusammenhängend,aber nicht lokal zusammenhängend, bzw lokal zusammenhängend,aber nicht zusammenhängend sind, sieht man in Abbildung 19 .Abbildung 19: nicht zusammenhängend, aber lokal zusammenhängend(links), zusammenhängend, aber nicht lokal zusammenhängend (rechts)Eine weitere Definition, welche für die folgenden Aussagen benötigt wird,ist die des Begriffs fully cycle extendable für einen Graph G.16

Definition 11fully cycle extendableSei G=(V, E) ein Graph und C ein Kreis in G. Wir nennen C erweiterbar(extendable), wenn es einen Kreis C ′ in G gibt, so dass V (C) ⊂ V (C ′ ) gilt,und C ′ genau einen Knoten mehr als C besitzt, also |V (C ′ )|=|V (C)| + 1.G heißt cycle extendable, wenn jeder nicht-hamiltonische Kreis C in Gerweiterbar ist.G heißt schließlich fully cycle extendable, wenn G cycle extedable ist,und jeder Knoten von G auf einem Dreieck in G liegt.Man sieht aus obiger Definition leicht, dass ein Graph, der fully cycleextendable ist, auch einen Hamiltonkreis besitzt, denn wählt man einen beliebigenKnoten aus G aus, so liegt dieser per Definition auf einem Dreieck,was einem Kreis über drei Knoten entspricht. Folglich gibt es einen Kreis inG, und dieser ist per Definition erweiterbar zu einem Kreis über 4 Knoten,welcher wiederum erweiterbar sein muss. Setzt man dies induktiv fort, gelangtman schließlich zu einem Kreis, der alle Knoten von G enthält, alsoeinem Hamiltonkreis in G entspricht.In [1] zeigen Gordon, Orlovich und Werner, dass ein zusammenhängenderund lokal zusammenhängender Dreiecksgittergraph entweder fully cycle extendableist (also auch einen Hamiltonkreis besitzt) oder isomorph zum’Davidsterngraph’ D ist, welcher in Abbildung 20 zu sehen ist. Reay undZamfirescu zeigen in [7], dass D der einzige zusammenhängende, lokal zusammenhängendeDreiecksgittergraph ist, welcher keinen Hamiltonkreis besitzt.Abbildung 20: Der ’Davidsterngraph’ D (Quelle: [1])Das Resultat von Gordon, Orlovich und Werner [1] besagt also, dass dasEntscheidungsproblem, ob ein gegebener Dreiecksgittergraph G, der lokalzusammenhängend ist, einen Hamiltonkreis besitzt, in polynomieller Zeitgelöst werden kann. Hierzu genügt es nämlich zu überprüfen, ob G zusammenhängendist. Wenn nein, kann G trivialerweise keinen Hamiltonkreisenthalten. Falls G jedoch zusammenhängend ist, kann man in polynomiellerZeit prüfen, ob G isomoprh zu D ist. Wenn ja, so enthält G keinen Hamiltonkreis,wenn nein, so gibt es definitiv einen solchen (da G in diesem Fallfully cycle extendable sein mus).17

Doch nicht nur das Hamiltonkreis-Entscheidungsproblem lässt sich fürlokal zusammenhängende Dreiecksgittergraphen in polynomieller Zeit lösen,man kann vielmehr sogar einen solchen Kreis konkret angeben und das entsprechendeKonstruktionsproblem damit in polynomieller Zeit lösen. Dennhat man G wie oben beschrieben als fully cycle extendable erkannt, kannman mit einem beliebigen Knoten starten, der auf einem Dreieck in G liegenmuss. Dieses Dreieck kann man konstruktiv und sukzessive zu immergrößeren Kreisen erweitern, bis man einen Hamiltonkreis gefunden hat. Fürjeweils eine solche Kreiserweiterung braucht man offensichtlich nicht mehrals polynomielle Zeit.Wir können also folgern:Korollar 12 Sei G ein zusammenhängender, lokal zusammenhängenderDreiecksgittergraph, der nicht isomorph zu D ist. Dann kann ein Hamiltonkreisvon G in polynomieller Zeit angegeben werden.Als letztes Resultat, was sich auf Dreiecksgittergraphen bezieht, betrachtenwir die Existenzfrage eines (v, w)-Hamiltonpfades von gegebenen Knotenv und w.Theorem 13 Das Problem, zu einem gegebenen Graphen G und Knotenv und w in G zu entscheiden, ob es einen Hamiltonpfad von v nach w gibt,ist NP-Vollständig.Beweis. Wir verwenden die in Abschnitt 2.1 durchgeführte Konstruktion einesDreiecksgittergraphen G ausgehend von einem planaren, bipartiten undkubischen Graph B erneut, um auch die hier behauptete NP-Vollständigkeitzu beweisen.Sei also B gegeben und G daraus konstruiert, so dass B genau danneinen Hamiltonkreis enthält, wenn G dies tut. Wir modifizieren G nun folgendermaßen:Man wähle ein beliebiges 7-Cluster mit zentralem schwarzenKnoten aus G aus, und füge zwei neue Knoten v und w hinzu, welche zu zweiim Cluster benachbarten Knoten x und y benachbart sind (siehe Abbildung21), wobei deg G (x) = deg G (y)=3 gelten soll.u und v haben im resultierenden Graphen nun jeweils Grad 1. Foglichkann es einen Hamiltonpfad von u nach v nur genau dann geben, wenn G vordem Einfügen der beiden Knoten einen Hamiltonkreis enthielt. Da letztereszu entscheiden nach Theorem 1 NP-vollständig ist, folgt unmittelbar dieNP-Vollständigkeit des Hamiltonpfadproblems.✷18

Abbildung 21: Ergänzung eines Clusters mit schwarzem zentralen Knotenum u und v3 Hamiltonkreise in hexagonalen GittergraphenNachdem das Hamiltonkreisproblem nun sowohl für Rechtecksgitter- alsauch für Dreiecksgittergraphen als NP-vollständig bewiesen ist, stellt sichnun die Frage nach der Komplexität des Problems auf hexagonalen Gittergraphen,da diese eine dritte Möglichkeit der Kachelung der Ebene durcheinen gleichbleibenden regelmäßigen Polygontyp darstellen.Die in diesem Kapitel vorgestellten Resultate basieren auf einer Arbeitvon Islam, Meijer, Núñeze, Rappaport und Xiao [2], welche auf derCanadian Conference on Computational Geometrie 2007 vorgestellt wurde.Zunächst definieren wir den Begriff des hexagonalen Gittergraphen:Definition 14 hexagonaler Gittergraph (hexagonal grid graph)Ein hexagonaler Gittergraph G=(V, E) ist ein Graph mit V ⊆ H, wobeiH die unendliche Menge der Gitterpunkte einer hexagonalen, regelmäßigenKachelung der Ebene mit Einheitslänge bezeichne. Die Kantenmenge E istdie Menge aller Kanten e = (v, w) zwischen Punkten v und w aus V , für die|vw| = 1 gilt.Ein hexagonaler Gittergraph ist also ein knoteninduzierter Subgraph desunendlichen hexagonalen Gittergraphen mit Knotenmenge H, analog zurDefinition der Dreiecksgittergraphen aus Kapitel 2 (siehe Abbildung 22).Nun werden wir die Komplexität von HC auf hexagonalen Gittergraphenuntersuchen, indem wir folgendes Theorem beweisen:Theorem 15 Das Hamiltonkreisproblem auf hexagonalen Gittergraphen istNP-vollständig.19

Abbildung 22: Ein hexagonaler GittergraphBeweis. Wir gehen analog zum Beweis von Theorem 1 in Kapitel 2 vorund stellen eine Polynomialzeit-Reduktion von HC in planaren, bipartitenund 2-zusammenhängenden Graphen mit maximalem Knotengrad 3 (dessenNP-Vollständigkeit von Johnson und Papadimitriou [4] gezeigt wurde) aufHC in hexagonalen Gittergraphen her.Dabei heißt ein Graph k-zusammenhängend für ein k ∈ IN, k ≥ 2, wennder Subgraph, der durch das Entfernen von maximal k−1 beliebigen Kantenentsteht, zusammenhängend ist.Sei B also ein planarer, bipartiter, 2-zusammenhängender Graph, dessenKnoten alle höchstens Grad 3 haben. Dabei seien die zwei Knotenpartitionenvon B durch die Attribute ’schwarz’ und ’weiß’ unterschieden. Eine Kante inB verläuft also wie gewohnt zwischen je einem weißen und einem schwarzenKnoten. Wir konstruieren aus B in polynomieller Zeit einen hexagonalenGittergraphen G, so dass gilt:B besitzt einen Hamiltonkreis ⇐⇒ G besitzt einen Hamiltonkreis (2)Die Konstruktion von G gliedert sich in drei Schritte:• Erstellung eines drawings D(B) aus B• Simulation der einzelnen Elemente von D(B) durch gadgets• Zusammensetzen der einzelnen gadgets zum Graph G20

3.1 Erstellung eines drawings D(B) aus BZunächst erstellen wir zu B ein geradliniges Layout, also eine Anordnungder Knoten und Kanten von B, so dass alle Kanten vertikal verlaufen, undalle Knoten durch waagerechte Balken dargestellt sind (siehe Abbildung 23(mitte)).Abbildung 23: Ein bipartiter, planarer, kubischer Graph (links), seingeradliniges layout (mitte) und sein drawing (rechts) (Quelle: [2])Dies geschieht durch das von Rosenstiehl und Tarjan in [8] beschriebeneVerfahren, welches dort für 2-zusammenhängende Graphen beschriebenist, und zu B ein geradliniges Layout (rectilinear configuration) inpolynomieller Zeit liefert. (Dies ist auch der Grund, warum wir B als 2-zusammenhängend für die folgende Konstruktion voraussetzen, was wir inKapitel 2 bei der Reduktion auf Dreiecksgittergraphen nicht gefordert hatten).Das erzeugte layout basiert auf einem st-ordering der Knotenmenge, d.h.auf der Wahl zweier beliebiger Knoten s (Quelle) und t (Senke), für welchewir alle Kanten des Graphen so orientieren können, dass s nur ausgehendeund t nur eingehende Kanten besitzt, und weiterhin im neu kantenorientiertenGraphen keine Zyklen auftreten.Die Wahl von s und t, sowie die anschließende Orientierung der Kantenbezüglich s und t ist dabei beliebig, jedoch resultiert jedes solche st-orderingin einem anderen geradlinigen layout des Graphen. Das layout ist also nichteindeutig bestimmt, was für unsere Konstruktion jedoch nicht relevant ist,da jedes auf diese Weise korrekt erzeugte layout geeignet ist.Hat man ein geradliniges Layout von B konstruiert, so wird aus diesemim nachfolgenden Schritt das gewünschte drawing D(B) erzeugt, indem einsweep über die Kanten des layouts vollzogen wird, und jede Kante dabei ineine 60 ◦ - oder eine 120 ◦ -Kante rotiert wird. Dabei ist eine 60 ◦ -Kante eineKante, welche mit der x-Achse einen Winkel von 60 ◦ bildet, analog ist eine120 ◦ -Kante definiert.Durch die Wahl dieser beiden speziellen Winkel ist gewährleistet, dass die21

nachfolgenden Schritte der Konstruktion zur Simulation des Graphen durcheinen hexagonalen Gittergraphen funktionieren, da auch in einem Sechseckdie Winkel von 60 ◦ und 120 ◦ bezüglich der x-Achse auftreten.Die Planarität des Graphen bleibt dabei erhalten, und auch dieser Schrittbenötigt nur polynomiellen Zeitaufwand. In Abbildung 23 (rechts) ist dasso konstruierte fertige drawing von D(B) zu sehen.3.2 Simulation der einzelnen Elemente von D(B) durch gadgetsund Zusammensetzung zu GNun wird B beziehungsweise sein drawing D(B) durch verschiedene gadgetsin einem hexagonalen Gittergraphen simuliert, ähnlich zur Simulation desGraphen B in Kapitel 2 durch Tentakel und 7-Cluster in einem Dreiecksgittergraphen.Auch für die folgende Konstruktion definieren wir den Begriff eines strips,welcher hier eine Aneinanderreihung von mehreren Sechsecken bezeichnet,und durch welche wir einerseits die in D(B) auftretenden Kanten, andererseitsdie durch waagerechte Balken repräsentierten Knoten in D(B) simulierenwollen.Wir haben somit drei Varianten von strips, welche durch den jeweiligenmit der x-Achse gebildeten Winkel unterschieden werden können: 0 ◦ -stripsfür die waagerechte Ausdehnung der Knoten in D(B) sowie 60 ◦ -strips und120 ◦ -strips für die jweiligen 60 ◦ - beziehungsweise 120 ◦ -Kanten des drawings.Dabei sind die strips jeweils wie in Abbildung 24 aufgebaut.Abbildung 24: strips im hexagonalen GittergraphenUm die einzelnen strips zum gewünschten hexagonalen GittergraphenG zusammensetzen zu können, definieren wir im Folgenden eine Reihe vongadgets:Definition 16 extenderEin extender ist ein 0 ◦ -strip, also eine horizontale Aneinanderreihungvon Sechsecken (siehe Abbildung 24, rechts), welches die Ausdehnung einesKnotens im drawing von B simuliert.Definition 17 U − T urnEin U−T urn ist eine wie in Abbildung 25 (links) gezeigte Anordnung von22

Sechsecken, welche die Verbindung zwischen den schwarzen Knoten und denmaximal drei angrenzenden strips im hexagonalen Gittergraph G darstellt.Definition 18 rosetteEine rosette ist eine wie in Abbildung 25 (mitte) gezeigte Anordnungvon Sechsecken, welche den Übergang von einem horizontalen strip (alsoeinem extender) zu einem 60 ◦ - oder 120 ◦ -strip bereitstellt.Definition 19 coreEin core ist eine wie in Abbildung 25 (rechts) gezeigte Anordnung vondrei Sechsecken, welche die eigentlichen Knotenpunkte von B in G repräsentiert.Folglich gibt es zwei Arten von core-gadgets, je einen core für einen schwarzenund für einen weißen Knotenpunkt des Ausgangsgraphen B, wobei dieeine Variante eine Spiegelung der anderen ist.Abbildung 25: Die verwendeten gadgets im hexagonalen Gittergraphen. Vonlinks nach rechts: U-T urn, rosette und core. (Quelle: [2])Mit dieser Sammlung von gadgets können wir nun den gewünschtenGraph G konstruieren. Wir repräsentieren die Knoten durch cores, fügenU-Turns an die schwarzen cores an, simulieren die waagerechte Ausdehnungder Knoten durch extender und verwenden rosettes, um den Übergang vonextendern zu 60 ◦ - und 120 ◦ -strips herzustellen, welche wiederum die eigentlichenKanten von D(B) simulieren. Abbildung 26 zeigt einen Ausschnittdes fertigen hexagonalen Gittergraphen zu dem in Abbildung 23 bereits demonstriertenGraph B. Auch die Art und Weise, wie die Kanten traversiertwerden (siehe später), ist in blau eingezeichnet.3.3 Die Reduktion des ProblemsNun können wir Behauptung (2) beweisen, und zeigen, dass B genau danneinen Hamiltonkreis enthält, wenn G dies tut.Ganz analog zum Reduktionsbeweis auf Dreiecksgittergraphen in Kapitel2 können wir zwei Arten von Pfaden definieren, über welche die einzelnenstrips vollständig besucht werden können.23

Abbildung 26: Ausschnitt aus dem fertigen hexagonalen Gittergraphen zumGraph B aus Abbildung 23. Zu sehen ist der weiße Knoten, der im drawingD(B) ganz unten zu finden ist, seine ausgehenden Kanten und zwei der angrenzendenschwarzen Knoten. Weiterhin sind in blau die zum Hamiltonkreisin B korrespondierenden Teilpfade zu sehen. (Quelle: [2])Zum einen definieren wir einen sequenziellen P fad (sequential path).Ein solcher Pfad entspricht in seiner Bedeutung dem in Kapitel 2 definiertenZickzackpfad. Weiterhin definieren wir einen parallelen P fad (parallelpath), welcher wiederum dem Rückkehrpfad in Kapitel 2 entspricht. Abbildung27 zeigt, wie ein strip mittels dieser beiden Pfade traversiert werdenkann.Abbildung 27: sequentieller Pfad (oben) und paralleler Pfad (unten) im hexagonalenGittergraphen”=⇒ ”: Angenommen, B besitzt einen Hamiltonkreis C B . Analog zum Reduktionsbeweisvon HC auf Dreiecksgittergraphen in Kapitel 2 simulierenwir die Kanten aus B, welche in C B vorkommen, durch sequentielle Pfadeauf den zu diesen Kanten korrespondierenden strips. Ebenso verwenden wirparallele Pfade auf denjenigen strips, welche zu in C B unbenutzten Kan-24

ten korrespondieren. Wir lassen die parallelen Pfade dabei wieder stets vonweißen Knoten beziehungsweise deren cores in G starten.Da aufgrund unserer Konstruktion am Ende eines so traversierten stripsein U-Turn-gadget vor Erreichen des schwarzen Knotens betreten wird, könnenwir den Pfad innerhalb des U-Turns auf die in Abbildung 25 (links, unten)dargestellte Weise umkehren lassen, so dass wir wieder zum weißen Ausgangscoregelangen, und somit das Nichtbenutzen der zu dem gerade traversiertenstrip korrespondierenden Kante in B simulieren. Abbildung 25(links, oben) zeigt weiterhin, wie ein U-Turn in dem Falle traversiert wird,dass der strip, über welchen man den U-Turn erreicht, durch einen sequentiellenPfad besucht wird (und die korrespondierende Kante in B also zu C Bgehört.Auch die rosettes können wir mittels eines sequenziellen oder eines parallelenPfades traversieren (siehe Abbildung 25, mitte), je nachdem, wie dieangrezenden strips traversiert werden sollen.Abbildung 25 (rechts) zeigt, wie die cores traversiert werden können.Man sieht leicht ein, dass auf die dargestellte Weise genau zwei an den coreangrenzende strips über sequenzielle Pfade, und der verbleibende dritte strip(falls existent) durch einen parallelen Pfad besucht werden kann.Da wir in B auch Knotengrade von 2 zugelassen hatten, kann es passieren,dass an einem core auch nur 2 strips anliegen. In diesem Fall sindalle präsentierten gadgets als Teilmenge der abgebildeten gadgets zu sehen,für welche die Sechsecke weggelassen werden, welche zum nichtvorhandenendritten strip gehören würden. An der eigentlichen Argumentation desBeweises ändert sich dadurch nichts.Aus der Konstruktion und der Art der Traversierung ergibt sich schließlichein Hamiltonkreis C G in G.”⇐= ”: Angenommen, G besitzt einen Hamiltonkreis C G . Dann wird jedesgadget entweder durch einen parallelen oder einen sequenziellen Pfadtraversiert. Konstruiere einen Hamiltonkreis C B in B, indem alle Kantenzu C B hinzugenommen werden, welche zu durch sequenzielle Pfade in C Gtraversierte strips korrespondieren. Aufgrund unserer Konstruktion und denvorherigen Überlegungen ergibt sich somit der gewünschet HamiltonkreisC B .Somit haben wir die NP-Vollständigkeit von HC auf hexagonalen Gittergraphenbewiesen.✷25

4 Zusammenfassung und AusblickIn dieser Arbeit haben wir die NP-Vollständigkeit des Hamiltonkreisproblemssowohl auf Dreiecksgittergraphen als auch auf hexagonalen Gittergraphengezeigt. Das Problem bleibt also für diese beiden Arten von Graphenschwer zu entscheiden. Weiterhin haben wir gesehen, dass im Falle von Dreiecksgittergraphendie Eigenschaft des lokalen Zusammenhangs eine wichtigeRolle spielt, da auf Dreiecksgittergraphen, die diese Eigenschaft erfüllen, dasEntscheidungsproblem in polynomieller Zeit gelöst und sogar ein konkreterHamiltonkreis angegeben werden kann.Als Nebenresultat wurde auch die NP-Vollständigkeit des Hamiltonpfadproblemsvon Knoten v nach w auf Dreiecksgittergraphen als NP-vollständigbewiesen.Damit ist das Hamiltonkreisproblem durch die Arbeiten von Gordon,Orlovich und Werner [1], Polishchuk, Arkin und Mitchell [6], Islam, Meijer,Núñez, Rappaport und Xiao [2] sowie Itai, Papdimitriou und Szwarcfiter [3]schließlich für alle Arten von Graphen, welche durch gleichbleibende Polygoneeine regelmäßigen Kachelungen der Ebene repräsentieren, im Detail untersuchtworden. FimF Dennoch bietet das Feld noch weitere Möglichkeitender näheren Untersuchung, beispielsweise das Angeben gewisser Eigenschaftenfür hexagonale und rechteckige Gittergraphen, für welche das Problemin polynomieller Zeit gelöst werden kann, so wie es hier für Dreiecksgittergraphengetan wurde.Auch eine Verallgemeinerung der Problemstellung durch eine beliebige(oder zumindest auf gewisse Weise verallgemeinerte) Kachelung der Ebeneließe sich in Hinblick auf das Hamiltonkreisproblem untersuchen.Literatur[1] V. Gordon, Yury, Orlovich, and F. Werner. Complexity of the hamiltoniancycle problem in triangluar grid graphs. 2007.[2] K. Islam, H. Meijer, Y. Núñez, D. Rappaport, and H. Xiao. Hamiltoncircuits in hexagonal grid graphs. In 19th Canadian Conference onComputational Geometry, 2007.[3] A. Itai, C. Papadimitriou, and J. Szwarcfiter. Hamiltonian paths in gridgraphs. SIAM Journal on Computing, 11:676–686, 1982.[4] D. Johnson and C. Papadimitriou. Computational Complexity, pages37–85. Wiley, 1985.[5] J. Plesnik. The np-completeness of the hamiltonian cycle problem inbipartite cubic planar graphs. Acta Math. Unib. Comenian, 42-43:271–273, 1983.26

[6] V. Polishchuk, E. Arkin, and J. Mitchell. Hamiltonian cycles in triangulargrids. In 18th Canadian Conference on Computational Geometry,2006.[7] J. Reay and T. Zamfirescu. Hamiltonian cycles in t-graphs. DiscreteComput. Geom., 24:497–502, 2000.[8] P. Rosenstiehl and R. Tarjan. Rectilinear planar layouts and bipolarorientations of planar graphs. Discrete Comput. Geom., 1:343–353, 1986.27