Pfade in Dreiecks- und Sechseckgittern - Universität Bonn

2 Hamiltonkreise in DreiecksgittergraphenIn diesem Kapitel wird das Hamiltonkreisproblem auf Dreiecksgittergraphengenauer untersucht. Dazu definieren wir zunächst, was unter einem solchenGraphen zu verstehen ist.Definition 2triangular tiling graphSei T ∞ = (V (T ∞ ), E(T ∞ )) ein unendlicher Graph, welcher die Ebene inregelmäßige Dreiecke teilt und folgendermaßen definiert ist:• V (T ∞ ) = { v = xp + yq | x, y ∈ ZZ, p = (1, 0), q = ( 1 2 , √ 32 ) }• E(T ∞ ) = { (v, w) | v, w ∈ V (T ∞ ), |vw| = 1 }Die Knoten von T ∞ √ lassen sich also als Linearkombination xp + yq vonp = (1, 0) und q = ( 1 2 , 32) darstellen und sind jeweils paarweise genau dannüber eine Kante miteinander verbunden, wenn ihr Euklidischer Abstandgenau 1 beträgt. Ein endlicher Ausschnitt von T ∞ ist in Abbildung 1 zusehen.Abbildung 1: Der Graph T ∞ (Quelle: [1])Ausgehend von obiger Definition des triangluar tiling graph lässt sichein Dreiecksgittergraph (triangular grid graph) nun folgendermaßen definieren:Definition 3DreiecksgittergraphEin Dreiecksgittergraph (triangular grid graph) G = (V, E) ist einendlicher knoteninduzierter Subgraph von T ∞ .Wie Abbildung 2 zeigt, kann ein Dreiecksgittergraph G auch einzelneisolierte Knoten (wie etwa Knoten w in Abbildung 2) sowie Liniensegmenteenthalten, welche keine Dreiecksstrukturen bilden.3