4 Zusammenfassung <strong>und</strong> AusblickIn dieser Arbeit haben wir die NP-Vollständigkeit des Hamiltonkreisproblemssowohl auf <strong>Dreiecks</strong>gittergraphen als auch auf hexagonalen Gittergraphengezeigt. Das Problem bleibt also für diese beiden Arten von Graphenschwer zu entscheiden. Weiterh<strong>in</strong> haben wir gesehen, dass im Falle von <strong>Dreiecks</strong>gittergraphendie Eigenschaft des lokalen Zusammenhangs e<strong>in</strong>e wichtigeRolle spielt, da auf <strong>Dreiecks</strong>gittergraphen, die diese Eigenschaft erfüllen, dasEntscheidungsproblem <strong>in</strong> polynomieller Zeit gelöst <strong>und</strong> sogar e<strong>in</strong> konkreterHamiltonkreis angegeben werden kann.Als Nebenresultat wurde auch die NP-Vollständigkeit des Hamiltonpfadproblemsvon Knoten v nach w auf <strong>Dreiecks</strong>gittergraphen als NP-vollständigbewiesen.Damit ist das Hamiltonkreisproblem durch die Arbeiten von Gordon,Orlovich <strong>und</strong> Werner [1], Polishchuk, Ark<strong>in</strong> <strong>und</strong> Mitchell [6], Islam, Meijer,Núñez, Rappaport <strong>und</strong> Xiao [2] sowie Itai, Papdimitriou <strong>und</strong> Szwarcfiter [3]schließlich für alle Arten von Graphen, welche durch gleichbleibende Polygonee<strong>in</strong>e regelmäßigen Kachelungen der Ebene repräsentieren, im Detail untersuchtworden. FimF Dennoch bietet das Feld noch weitere Möglichkeitender näheren Untersuchung, beispielsweise das Angeben gewisser Eigenschaftenfür hexagonale <strong>und</strong> rechteckige Gittergraphen, für welche das Problem<strong>in</strong> polynomieller Zeit gelöst werden kann, so wie es hier für <strong>Dreiecks</strong>gittergraphengetan wurde.Auch e<strong>in</strong>e Verallgeme<strong>in</strong>erung der Problemstellung durch e<strong>in</strong>e beliebige(oder zum<strong>in</strong>dest auf gewisse Weise verallgeme<strong>in</strong>erte) Kachelung der Ebeneließe sich <strong>in</strong> H<strong>in</strong>blick auf das Hamiltonkreisproblem untersuchen.Literatur[1] V. Gordon, Yury, Orlovich, and F. Werner. Complexity of the hamiltoniancycle problem <strong>in</strong> triangluar grid graphs. 2007.[2] K. Islam, H. Meijer, Y. Núñez, D. Rappaport, and H. Xiao. Hamiltoncircuits <strong>in</strong> hexagonal grid graphs. In 19th Canadian Conference onComputational Geometry, 2007.[3] A. Itai, C. Papadimitriou, and J. Szwarcfiter. Hamiltonian paths <strong>in</strong> gridgraphs. SIAM Journal on Comput<strong>in</strong>g, 11:676–686, 1982.[4] D. Johnson and C. Papadimitriou. Computational Complexity, pages37–85. Wiley, 1985.[5] J. Plesnik. The np-completeness of the hamiltonian cycle problem <strong>in</strong>bipartite cubic planar graphs. Acta Math. Unib. Comenian, 42-43:271–273, 1983.26
[6] V. Polishchuk, E. Ark<strong>in</strong>, and J. Mitchell. Hamiltonian cycles <strong>in</strong> triangulargrids. In 18th Canadian Conference on Computational Geometry,2006.[7] J. Reay and T. Zamfirescu. Hamiltonian cycles <strong>in</strong> t-graphs. DiscreteComput. Geom., 24:497–502, 2000.[8] P. Rosenstiehl and R. Tarjan. Rectil<strong>in</strong>ear planar layouts and bipolarorientations of planar graphs. Discrete Comput. Geom., 1:343–353, 1986.27