Pfade in Dreiecks- und Sechseckgittern - Universität Bonn

ten korrespondieren. Wir lassen die parallelen Pfade dabei wieder stets vonweißen Knoten beziehungsweise deren cores in G starten.Da aufgrund unserer Konstruktion am Ende eines so traversierten stripsein U-Turn-gadget vor Erreichen des schwarzen Knotens betreten wird, könnenwir den Pfad innerhalb des U-Turns auf die in Abbildung 25 (links, unten)dargestellte Weise umkehren lassen, so dass wir wieder zum weißen Ausgangscoregelangen, und somit das Nichtbenutzen der zu dem gerade traversiertenstrip korrespondierenden Kante in B simulieren. Abbildung 25(links, oben) zeigt weiterhin, wie ein U-Turn in dem Falle traversiert wird,dass der strip, über welchen man den U-Turn erreicht, durch einen sequentiellenPfad besucht wird (und die korrespondierende Kante in B also zu C Bgehört.Auch die rosettes können wir mittels eines sequenziellen oder eines parallelenPfades traversieren (siehe Abbildung 25, mitte), je nachdem, wie dieangrezenden strips traversiert werden sollen.Abbildung 25 (rechts) zeigt, wie die cores traversiert werden können.Man sieht leicht ein, dass auf die dargestellte Weise genau zwei an den coreangrenzende strips über sequenzielle Pfade, und der verbleibende dritte strip(falls existent) durch einen parallelen Pfad besucht werden kann.Da wir in B auch Knotengrade von 2 zugelassen hatten, kann es passieren,dass an einem core auch nur 2 strips anliegen. In diesem Fall sindalle präsentierten gadgets als Teilmenge der abgebildeten gadgets zu sehen,für welche die Sechsecke weggelassen werden, welche zum nichtvorhandenendritten strip gehören würden. An der eigentlichen Argumentation desBeweises ändert sich dadurch nichts.Aus der Konstruktion und der Art der Traversierung ergibt sich schließlichein Hamiltonkreis C G in G.”⇐= ”: Angenommen, G besitzt einen Hamiltonkreis C G . Dann wird jedesgadget entweder durch einen parallelen oder einen sequenziellen Pfadtraversiert. Konstruiere einen Hamiltonkreis C B in B, indem alle Kantenzu C B hinzugenommen werden, welche zu durch sequenzielle Pfade in C Gtraversierte strips korrespondieren. Aufgrund unserer Konstruktion und denvorherigen Überlegungen ergibt sich somit der gewünschet HamiltonkreisC B .Somit haben wir die NP-Vollständigkeit von HC auf hexagonalen Gittergraphenbewiesen.✷25