Berechnung der Triangulation eines Polygons in ... - Universität Bonn

Die Berechnung der Triangulation einesPolygons in fast-linearer Zeit.Ausarbeitung zum Vortrag von Adrian PolkoAnhand des Papers von Raimund Seidel: ”A Simple and Fast IncrementalRandomized Algorithm for Computing Trapezoidal Decompositions and forTriangulating Polygons”Im Rahmen des Informatik A-Seminars WS 2001/2002”Algorithmische Geometrie und Bewegungsplanung für Roboter”Rheinische Friedrich-Wilhelms-Universität Bonn, Institut fürInformatik I

11 EinführungDie Triangulation von Polygonen findet in vielen Bereichen Anwendung, deshalb war die Berechenbarkeitdieses Problems schon früher von großer Bedeutung. Trotzdem blieb diese Berechenbarkeitbis vor einem Jahrzehnt ungelöst. Das Problem kann wie folgt näher spezifiziert werden:Problem: Gegeben seien die Koordinaten von n aufeinander folgenden Ecken eines einfachen PolygonsP . Gesucht werden n − 3 Diagonalen, die P in n − 2 Dreiecke teilen.Eine kurze Geschichte: 1978 veröffentlichte Garey ein Verfahren mit der Komplexität O(n log n),welches auf einem Sweep basierte. Vier Jahre später präsentierte Chazelle einen Algorithmus mitgleicher Komplexität. Die O(n log n) Grenze wurde dann von O(n log C P ) unterboten, wobei C P den”shape” Parameter beschreibt, der nicht größer als n ist und vom Polygon P abhängt.Tarjan und Van Wyk machten 1986 einen Durchbruch mit einem O(n log log n) Algorithmus. DreiJahre später erreichte auch ein einfacheres Verfahren von Kirkpatrick diese Zeitschranke. Zwischenzeitlichpräsentierte Clarkson einen randomisierten Algorithmus mit der erwarteten LaufzeitO(log ∗ n). Schließlich entdeckte Chazelle ein deterministisches Verfahren mit linearer Laufzeit,welches die Frage der Komplexität dieses Problems beantwortete.Diese Ausarbeitung stellt einen randomisierten Algorithmus mit der erwarteten Laufzeit O(n log ∗ n)vor. Die Tugend des Verfahrens liegt in der Einfachheit. Außerdem ist dieser Algorithmus praktischund läßt sich leicht implementieren, was man von den meisten o.g. Algorithmen nicht behauptenkann. Wie die meisten Vorgänger, kann unserer Algorithmus ein Polygon P nicht direkt triangulieren.Zunächst wird eine Struktur berechnet, die als ”Trapezzerlegung” von P bezeichnet wird.Fournier und Montuno stellten fest, dass sich die Triangulation von P aus dieser Struktur inlinearer Zeit ableiten läßt.

22 TrapezzerlegungIn diesem und folgenden Abschnitten arbeiten wir in der euklidischen Ebene mit dem üblichenx-y Koordinatensystem.Definition 1 Zwei Liniensegmente in der Ebene heißen kreuzungsfrei, falls ihre Schnittmenge leerist, oder aus einem gemeinsamen Endpunkt besteht.Definition 2 Sei S eine Menge von n kreuzungsfreien und nicht-horizontalen Liniensegmenten inder Ebene. Für jedes Segment aus S und jeden Endpunkt p eines Liniensegments zeichnen wir zweihorizontale Strahlen, die sich nach rechts und links von p erstrecken, bis sie auf andere Liniensegmentein S stoßen. Für jeden Endpunkt p eines Liniensegments bezeichnen wir die zwei horizontalenStrahlen, die durch p verlaufen, als horizontale Erweiterung durch p.Definition 3 Die Liniensegmente in S bilden zusammen mit ihren horizontalen Erweiterungen einenplanaren Graphen, den wir Trapezzerlegung von S, oderkurzT (S) nennen.Abbildung 1: Trapezzerlegung von 5 Liniensegmenten

3Da jede Fläche von T (S) aus zwei horizontalen Seiten besteht, (wobei eine die Länge 0 haben kann- wie in der Abbildung 1 -) werden diese Flächen Trapeze genannt.Was ist die Komplexität von T (S)? Falls S aus n Liniensegmenten besteht, gibt es höchstens2n verschiedene Endpunkte. Zu jedem Endpunkt gehört die horizontale Erweiterung, die höchtenszwei Knoten in T (S) verursacht.T (S) hat deshalb höchstens 6n Knoten. Außerdem ist dieser Graphplanar und hat deshalb T (S) O(n) Kanten und Flächen.Unserer Algorithmus erfordert, dass jedes Trapez in T (S) höchstens mit jeweils zwei Trapezenoberhalb und unterhalb benachbart ist. Wir bezeichnen ein Trapez als nicht degeneriert, wenn seineOber- bzw. Unterseite sich höchstens über zwei andere Trapezunter- bzw. oberseiten erstreckt.Diese Eigenschaft wird automatisch eingehalten, wenn die Endpunkte der Liniensegmente in S unterschiedlichey-Koordinaten haben. Von nun an nehmen wir an, dass S diese Eigenschaft besitzt. Wieauch in [CTV] erwähnt, ist diese Eigenschaft keine Einschränkung der Allgemeinheit, da diese Eigenschaftdurch eine kleine Drehung des Koordinatensystems erzielt werden kann. Die Drehung kannauch durch ein lexikoographische Anordnung simuliert werden: Haben zwei verschiedene Endpunktegleiche y-Koordinaten, dann liegt der Punkt mit der kleineren x-Koordinate tiefer.Abbildung 2: Degenerierte Menge von LiniensegmentenDie degenerierte Menge von Liniensegmenten (Abbildung 2) kann durch Drehung des Koordinatensystemsoder durch lexikographische Anordnung zu einem nicht degenerierten System umgewandeltwerden (Abbildung 3).Abbildung 3: Degeneration wurde durch Drehung oder lexikographische Anordnung behoben.

4Schließlich wollen wir noch die Beziehung zwischen der Trapezzerlegung und der Triangulation eineseinfachen Polygons herstellen. Diese Beziehung wurde bereits in [FM] und [CI] entdeckt.Sei S = {s 0 ,s 1 ,...,s n−1 } eine Menge von Liniensegmenten, die eine geschlossene Polygonhüllebilden. Dabei haben s i und s i+1 einen gemeinsamen Endpunkt. Für zwei Liniensegmente s i ,s j ∈ Sgilt foldende Bedingung : s i ∩ s j = ∅ , falls |i − j| > 1 (wir betrachten alle Indizes modulo n). DieHülle bildet nun ein einfaches Polygon P mit n Ecken. Um P zu triangulieren, müssen wir n − 3kreuzugsfreie Diagonalen finden, die P in n − 2 Dreicke teilen.Lemma 1 Sei S = {s 0 ,s 1 ,...,s n−1 } eine Menge von Ecken auf der Hülle eines einfachen PolygonsP .IstT (S) bekannt, dann kann die Triangulation von P in Zeit O(n) berechnet werden.Beweis : Wir nehmen an, dass P keine Ecken mit gleicher y-Koordinate hat. Wie bereits erwähnt,lässt sich diese Bedingung ohne Weiteres herstellen, so dass die Allgemeinheit uneingeschränkt bleibt.Die Berechnung der Triangulation des Polygons P , ausgehend von T (S), geschieht in drei Schritten:Im ersten Schritt werden alle Trapeze entfernt, die außerhalb von P liegen.Abbildung 4: T (S) nachdemdieäußeren Trapeze entfernt wurden.Überprüfe, ob T (S) Trapeze enthält, die zwei Ecken von P auf verschiedenen Seiten beinhalten. Fallsein solches Paar existiert, zeichne eine Diagonale zwischen den Ecken.Abbildung 5: Einführung der Diagonalen in die Trapeze.Die eingezeichneten Diagonalen, teilen P in y-monotone Unterpolygone auf.

5Abbildung 6: Aufteilung von P in Polygone, die leicht zu triangulieren sind.✷Diese Klasse von Polygonen lässt sich in Zeit O(n) triangulieren. Die Verfahrensweise wird in [FM]und [CI] näher erläutert.3 AlgorithmusFür unsere Zwecke setzen wir eine Datenstruktur für die Tarpezzerlegung T (S) voraus, die für jedesTrapez τ ∈T(S) einen Zugriff auf die benachbarten Trapeze in konstanter Zeit ermöglicht. Weiterhinwird vorausgesetzt, dass T (S) nicht degeneriert ist. Wie auch schon im letzten Abschnitt erwähnt, istdiese Eigenschaft eingehalten, wenn zwei verschiedene Endpunkte der Liniensegmente verschiedene y-Koordinaten haben. Dadurch ist gewährleistet, dass jedes Trapez in T (S) höchstens zwei obere bzw.untere Nachbarn hat. Eine derartige Datenstruktur erlaubt uns eine effiziente Navigation durch T (S),d. h. wir können eine Kurve C durch T (S) günstig verfolgen. Die Kosten, die dabei anfallen, sindproportional zur Komplexität von C plus der Anzahl der Trapeze, die man bei dieser Tour durchläuft.Wir halten fest, dass die Größe dieser Datenstruktur linear zur Anzahl der Liniensegmente in S ist.Zusätzlich führen wir eine Suchstruktur Q(S) mit.Q(S) soll uns helfen, für einen beliebigen Punkt pdas Trapez zu finden, das p enthält. Im Allgemeinen ist Q(S) ein gerichteter, azyklischer Graph miteinem Wurzelknoten und genau einer Senke für jedes Trapez aus T (S). Jeder Knoten, der keine Senkeist, hat zwei ausgehende Kanten und ist entweder mit dem Etikett X oder Y versehen. Ist ein Knotenmit X gekennzeichnet, ist der Schlüssel dieses Knotens ein Liniensegment aus S. Falls der Knotenmit Y versehen ist, hat er eine reelle Zahl als Schlüssel, die für die y-Koordinate eines Endpunkteseines Liniensegments aus S steht (mit anderen Worten: Es ist die horizontale Erweiterung durchdiesen Endpunkt).Falls wir nun zu einen beliebigen Punkt q das Trapez aus T (S) suchen, das q enthält, verfahren wir

6a1a y2s3b y14sb42 3Abbildung 7: Trapezzerlegung für das Liniensegment s und die dazugehörige Suchstruktur Q({s}).wie folgt: Wir beginnen an der Wurzel von Q(S) und bewegen uns entlang eines Pfades bis zu einerSenke, die bekanntlich einem Trapez aus T (S) entspricht. An jedem Knoten auf dem Pfad erfolgt einVergleich mit dem Schlüssel des Knotens. An einem X-Knoten stellen wir fest, ob q sich links oderrechts von dem Liniensegment befindet, welches der Schlüssel dieses Knotens ist. Liegt q links davon,folgen wir der linken Kante. Wenn q rechts vom Schlüsselsegment liegt, folgen wir der rechten Kante.Der Fall, dass q auf dem Schlüsselsegment liegt kann vernachlässigt werden, da dieser für unsereZwecke nicht relevant ist. Kommen wir an einem Y -Knoten an, vergleichen wir die y-Koordinate vonq mit dem Schlüssel des Knotens, der bekanntlich eine horizontale Erweiterung eines Endpunktesaus S repräsentiert. Liegt q oberhalb der horizontalen Erweiterung, wird der rechten Kante gefolgt.Wenn q unterhalb der horizontalen Erweiterung liegt, wird der linken Kante gefolgt. Da wir ein nichtdegeneriertesSystem vorfinden (laut Annahme) ist der Fall, dass q auf der horizontalen Erweiterungliegt, irrelevant.Weiterhin nehmen wir an, dass die Trapeze in T (S) mitdenSenkeninQ(S) festverdrahtetsind,d. h. für jedes Trapez aus T (S) können wir in konstanter Zeit die entsprechende Senke in Q(S)bestimmen. Gleiches gilt für die und umgekehrte Richtung.Sei nun s ein nicht-horizontales Liniensegment mit dem oberen Endpunkt a und dem unterenEndpunkt b, das keine Liniensegmente aus S kreuzt. Sei S ′ = S ∪{s}. Im Folgenden möchten wirT (S ′ ) und Q(S ′ ) berechnen, wenn T (S) und Q(S) gegeben sind.Falls der obere Endpunkt a kein Endpunkt der Liniensegmente aus S ist, benutzen wir Q(S) umdas Trapez τ a , welches a enthält, zu lokalisieren. Das Trapez τ a wird mit einer horizontalen Linie, diedurch a verläuft, geteilt und wir erhalten damit eine neue Trapezzerlegung T ′ . Die Senke aus Q(S),die τ a entspricht, verwandelt sich zu einem Y -Knoten, dessen Schlüssel die y-Koordinate von a ist.Die Kinderknoten sind die zwei neuen Trapeze, die wir durch Teilung des Trapezes τ a erzeugt haben.Damit haben wir die Strukturen T ′ und Q ′ .Ist a ein Endpunkt eines Liniensegments aus S, setzt man T ′ = T und Q ′ = Q.

7Wir wollen mit dem unteren Endpunkt b ähnlich verfahren und die Trapezzerlegung T ′′ sowie dieSuchstruktur Q ′′ aus T ′ bzw. Q ′ ableiten.Nun ”fädeln” 1 wir das Liniensegment s durch T ′′ , indem wir alle Trapeze bestimmen, die von sdurchschnitten werden. Diese Trapeze werden in zweigeteilt und auf jeder Seite verschmelzen wir diehorizontalen Erweiterungen aus T ′′ mit s. SoerhaltenwirT (S ′ ).Die Suchstruktur Q(S ′ ) erhalten wir wie folgt: Für jedes neue Trapez aus T (S ′ ) erzeugen wir dieentsprechende Senke in der Suchstruktur. Jede Senke aus Q ′′ ,dievons zerschnitten wurde, wirdzu einem X-Knoten mit dem Schlüssel s und den zwei neuerzeugten Senken als Kinderknoten. DasTrapez aus T ′′ ,dasb enthält, bekommt noch einen Y -Knoten, da es zusätzlich durch die horizontaleErweiterung, die durch b verläuft, geteilt wird.DieZeit,diewirbenötigen um T (S ′ ) und Q(S ′ )ausT (S) bzw.Q(S) abzuleiten, setzt sich ausder Zeit für die Lokalisirung der beiden Endpunkte und der ”threading”-Zeit zusammen. Letzteresist proportional zur der Anzahl der horizontalen Erweiterungen aus T (S), die s schneiden, oder derAnzahl der horizontalen Erweiterungen aus T (S ′ ), die in s münden.Wieviel Zeit brauchen wir um T (S) zu erzeugen, wenn wir die Liniensegmente nacheinandereinfügen, beginnend mit leeren Strukturen? Offensichtlich ist dies abhängig von der Einfügereihenfolge.Zwar ist T (S) von dieser Reihenfolge unabhängig, Q(S) und die Zeit um einen Punkt zulokalisieren, hängen aber sehr stark von dieser Reihenfolge ab. Schlechte Beispiele sind schnell gefunden:Stellen wir uns eine Menge S vor, mit n vertikalen Liniensegmenten, die die x-Achse schneiden.Werden die Liniensegmente nach der steigenden x-Koordinate eingefügt, dann werden die Pfade vonder Wurzel zur Senke in Q(S) lang. Wollen wir nun einen Punkt lokalisieren, der auf der x-Achseliegt und sich rechts von allen Liniensegmenten befindet, dann benötigen wir O(n) Zeit.Künftig argumentieren wir, dass wenn die Liniensegmente in zufälliger Reihenfolge eingefügt werden,wobei jede Anordnung mit gleicher Wahrscheinlichkeit vorkommt, verhält sich Q(S) inErwartungbesser. Dadurch wird die erwartete Zeit für die Konstruktion der Strukturen auch angemessen,die sich bekanntlich aus der erwarteten Zeit für die Lokalisierung der Punkte und der erwarteten”threading”-Zeit zusammensetzt. Die folgenden Lemmata geben Auskunft über diese Zeiten.Lemma 2 Sei s 1 ,...,s n eine zufällige Reihenfolge der Liniensegmente aus S, undS i = {s 1 ,...,s i }mit 0 ≤ i ≤ n. Für 1 1,log n

8Lemma 3 Sei s 1 ,...,s n eine zufällige Reihenfolge der Liniensegmente aus S, undS i = {s 1 ,...,s i }mit 0 ≤ i ≤ n. Für 1 ≤ i ≤ n seien T (S i ) und Q(S i ) die Trapezzerlegung und Suchstruktur für S i ,die aus T (S i−1 ) bzw. Q(S i−1 ) durch Einfügen von s i entstanden sind.Sei q ein Punkt, den man in T (S n ) mittels Q(S n ) lokalisieren möchte. Unter Berüchsichtigungaller Anordnungen von S beträgt die erwartete Anzahl von Schlüsselvergleichen 5H n ∈ O(log n).Beweis : Sei τ j das Trapez in T (S j ), das q enthält. Angenommen τ i−1 ist bekannt, was ist dann E i ,die erwartete Anzahl von Vergleichen um, τ i zu finden? Mit anderen Worten: Wir kennen das Trapezaus T (S i−1 ), das q enthält. Was ist dann die erwartete Anzahl von Vergleichen, um das Trapez inT (S i ) zu finden, welches q enthält?Sind τ i−1 und τ i gleich, dann sind keine Vergleiche nötig. Falls die Trapeze verschieden sind, istentweder eine der Seiten ein Teil des neuen Liniensegments s i oder die horizontalen Erweiterungendurch die Endpunkte von s i .Ist die rechte Seite von τ i ein Teil von s i ,istexakteinX-Vergleich zwischen q und s i nötig, umτ i zu identifizieren. zwischen q und s i . Wegen der zufälligen Anordnung ist die Wahrscheinlichkeitdafür, dass s i τ i von der rechten Seite eingrenzt, höchstens 1/i (τ i kann auch rechts unbegrenzt sein).Folglich beträgt der Erwartungswert für die Anzahl der Vergleiche zwischen q und der rechten Seitevon τ i höchstens 1/i. Wegen der Symmetrie folgt das Gleiche für die linke Seite von τ i .Falls die obere Seite von τ i ein Teil der horizontalen Erweiterung durch einen Endpunkt von s iist, ist ein zusätzlicher Vergleich nötig, nämlich ein Y -Vergleich zwischen q und der horizontalenErweiterung. Wegen der zufälligen Reihenfolge der Liniensegmente tritt dieses Ereignis höchstensmit der Wahrscheinlichkeit 1/i auf. Gleiches gilt für die Unterseite von τ i .Die erwartete Anzahl von Vergleichen zwischen q und den Trapezseiten von τ i ist also höchstens4/i. Mike Hohmeyer fand heraus, dass noch ein zusätzlicher Vergleich auftreten kann: Wir nehmen an,dass die obere Seite von τ i , ein Teil der horizontalen Erweiterung durch den tiefergelegenen Endpunktvon s i ist (was mit der Wahrscheinlichkeit 1/i auftreten kann). Weiterhin nehmen wir an, dass eskeine horizontale Erweiterung gibt, die s i im Inneren schneidet, und dass kein anderes Liniensegmentaus S i einen gemeinsamen Endpunkt mit s i hat. Zusammengefasst bedeutet dies, dass s i komplettin τ i−1 enthalten sein muß. Um q in τ i zu lokalisieren, mußzuerst ein Vergleich zwischen q und derhorizontalen Erweiterung des oberen Endpunktes stattfinden. Wenn also diese spezielle Konfigurationauftaucht, ist ein weiterer Vergleich mit der Wahrscheinlichkeit von höchstens 1/i nötig.Falls wir das Trapez τ i−i , welches q enhielt kennen, müssen wir in Erwartung 5/i Vergleicheanstellen, um das Trapez τ i zu finden, das nach Einfügen von s i den Punkt q enthält. Es gilt deshalbE i =5/i. Um das Lemma zu beweisen genügt es, die gesamte erwartete Anzahl von Vergleichen zubetrachten ∑ 1≤i≤n E i. ✷Aus den Lemmata 2 und 3 und der davor geführten Diskussion folgt unmittelbar:Theorem 1 Sei S eine Menge von n kreuzungsfreien, nicht-horizontalen Liniensegmenten in derEbene. Seien T (S) die Trapezzerlegung und Q(S) die Suchstruktur von S, die durch inkrementellesEinfügen der Liniensegmente aus S in zufälliger Reihenfolge entstanden sind.1. T (S) und Q(S) können in der erwarteten Zeit O(n log n) aufgebaut werden.2. Die erwartete Größe von Q(S) ist O(n).3. Für einen beliebigen Punkt q brauchen wir in Erwartung O(log n) Zeit, um q in T (S) mittelsQ(S) zu lokalisieren.(Die Erwartungswerte gelten hinsichtlich der zufälligen Anordnung der Liniensegmente aus S, wobeijede Permutation von S mit gleicher Wahrscheinlichkeit vorkommt.)

9Im Folgenden zeigen wir, dass wenn S Liniensegmente enthält, die eine einfache polygonale Kettebilden, können T (S) und Q(S) noch schneller aufgebaut werden.Der kostenintensive Teil beim Einfügen eines Segments scheint die Lokalisierung der Endpunkte zusein. Falls nun S aus einer polygonalen Kette C besteht, kommt der Gedanke auf, die Liniensegmenteder Reihe nach entlang C einzufügen. Beim Einfügen eines Liniensegments s i erspart man sich dieLokalisierung des gemeinsamen Endpunktes von s i und s i−1 , der bereits beim Einfügen von s i−1lokalisiert wurde. Die Position des anderen Endpunktes kann beim ”threading” ermittelt werden.Leider verzichtet diese Strategie auf Randomisierung und man kann nicht mehr von konstantenKosten beim ”treading” ausgehen. Tatsächlich kann man schnell Beispiele finden, wo der ”threading”-Vorgang O(i) Zeitfür n/2 ≤ i ≤ n benötigt, was dann zu einem Algorithmus mit der Laufzeit O(n 2 )führt.Wir verfolgen die folgende Strategie: Die Liniensegmente werden weiterhin in zufälliger Reihenfolgeeingefügt. Gelegentlich halten wir aber an, um alle Endpunkte in der vorhandenen Trapezzerlegungzu lokalisieren, indem wir uns entlang C bewegen. Um die Effizienz dieses Verfahrens zu zeigen,brauchen wir zwei Lemmata. Das erste Lemma sagt uns, wie uns die gewonnen Informationen überdie zwischenzeitliche Lokalisierung der Endpunkte weiterhelfen, das andere hingegen gibt Auskunftüber die Kosten der Verfolgung von C durch die Trapezzerlegung.Lemma 4 Sei s 1 ,...,s n eine zufällige Reihenfolge der Liniensegmente aus S, undS i = {s 1 ,...,s i }mit 0 ≤ i ≤ n.Sei 1 ≤ j ≤ k ≤ n. Istq ein Punkt, dessen Position in T (S j ) bekannt ist, dann kann q mit Hilfevon Q(S k ) in T (S k ) innerhalb der erwarteten Zeit 5(H k − H j ) ∈ O(log(k/j)) lokalisiert werden.Beweis : Wir verfahren wie im Beweis von Lemma 3. In diesem Fall beträgt die erwartete Lokalisierungszeit∑ j

10Bevor wir den Algorithmus präsentieren, müssen wir noch ein paar Worte zur Notation verlieren.Im Folgenden bezeichnet log (i) den i-ten iterierten Logarithmus, d.h. log (0) n = n und für i>0 giltlog (i) n = log(log (i−1) n). Für n>0 bezeichne log ∗ n die größte natürliche Zahl l, so dass log (l) n ≥ 1,und für n>0 und 0 ≤ h ≤ log ∗ n sei N(h) dieAbkürzung für ⌈n/ log (h) n⌉. WelcheGrößenordnunghat log ∗ n ?Nunfür ”praktische” Werte von n kann log ∗ n als Konstante angesehen werden. So istzum Beispiel log ∗ n ≤ 5für alle n ≤ 10 20000 .DieEingabefür den unteren Algorithmus ist eine einfache, polygonale Kette C bestehend aus naufeinanderfolgenden Liniensegmenten entlang C.1. Erzeuge s 1 ,...,s n eine zufällige Reihenfolge der Liniensegmente aus C.2. Erzeuge die Trapezzerlegung T 1 und die dazugehörige Suchstruktur Q 1 für die Menge {s 1 }.3. for h =1to log ∗ n do3.1. for N(h − 1)

11Dieses Theorem lässt sich leicht verallgemeinern. Schließlich setzt der Algorithmus nur eine Eigenschaftvoraus, nämlich dass C eine Zusammenhangskomponente repräsentiert. Stellt C einenverbundenen, planaren Graphen G dar, würde sich dieses Ergebnis weiterhin bestätigen. Schritt 3.2müßte folglich modifiziert werden. In diesem Fall würden wir den kompletten Graphen durchlaufen,indem wir einen Algorithmus zur Graphdurchmusterung verwenden würden. Wenn wir jetzt nocherlauben, dass G aus mehreren Zusammenhangskomponenten besteht, lassen sich die Theoreme 1und 2 wie folgt vereinigen:Theorem 3 Sei S eine Menge von kreuzungsfreien Liniensegmenten in der Ebene, die einen planarenGraphen mit k Zusammenhangskomponenten repräsentiert. Weiterhin sei T (S) die Trapezzerlegungvon S.• Die Trapezzerlegung T (S) und die dazugehörige Suchstruktur Q(S) können in der ZeitO(n log ∗ n + k log n) aufgebaut werden.• Die ewartete Größe von Q(S) ist O(n).• Die erwartete Lokalisierungszeit für einen beliebigen Punkt q beträgt O(log n).Beweis : Wir benutzen weiterhin den oben beschriebenen Algorithmus, ändern jedoch denSchritt 3.2 so ab, dass die Liniensegmente jeder Zusammenhangskomponente des Graphen in derReihenfolge einer Graphdurchmusterung (z.B. Tiefensuche) abgelaufen werden. Bei diesem Schrittwerden die Zusammenhangskomponenten nacheinander abgearbeitet und die Endpunkte der nochnicht eingefügten Liniensegmente müssten dann noch lokalisiert werden. Lemma 3 sagt aus, dass dieLokalisierungszeit für jede Zusammenhagskomponente in Erwartung O(log n) beträgt. ✷

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