Das Auswerten von Determinanten - Universität Bonn

Institut für Informatik I
Theoretische Informatik und formale Methoden
Rheinische Friedrich-Wilhelms-Universität Bonn
Das Auswerten von Determinanten
Seminar: Robuste geometrische Algorithmen
von
Darius Wieczorek
Matrikel-Nr: 1518575
Studiengang Informatik
Sommersemester 2005
Betreuer: Dr. Elmar Langetepe

Das Auswerten von Determinanten
Inhaltsverzeichnis
I
Seite
Abbildungsverzeichnis..........................................................................................................II
Symbolverzeichnis...............................................................................................................III
1 Einführung..........................................................................................................................1
Was soll bei den Determinanten ausgewertet werden?........................................................1
Wozu wird das Vorzeichen einer Determinante benötigt?...................................................1
Warum nur (b+1)-Bit Arithmetik?......................................................................................2
Grundidee des Algorithmus:...............................................................................................2
2 Der zweidimensionale Fall..................................................................................................3
2.1 Voraussetzung für dieses Kapitel..................................................................................3
2.2 Der Algorithmus bei 2x2 Determinanten.......................................................................5
3 Der dreidimensionale Fall....................................................................................................6
3.1 Einleitung.....................................................................................................................6
3.2 Der Algorithmus.........................................................................................................11
3.3.1 Vorbereitender Schritt..............................................................................................11
3.3.2 Der erste Schritt.......................................................................................................11
3.3.2.1 Standardisieren der Basis..................................................................................12
3.3.2.2 Vorbereitung auf das lokalisieren von u
3
..........................................................13
3.3.2.3 Grobes Lokalisieren von u
3
..............................................................................14
3.3.2.4 Bestimmung von l
f
..........................................................................................16
3.3.2.5 Lokalisieren der Zelle, die u
3
enthält................................................................17
3.3.2.6 Ende des ersten Schrittes...................................................................................17
3.3.3 Die Arithmetik.........................................................................................................17
3.3.4 Zweiter Schritt: Exponentielle Reduktion.................................................................20
3.3.5 Nicht linear unabhängige Vektoren..........................................................................21
3.3.6 Komplexitätsanalyse des Algorithmus .....................................................................22
Literaturverzeichnis..............................................................................................................22

II
Darius Wieczorek
Abbildungsverzeichnis
Bild 1:
Bild 2:
Bild 3:
Bild 4.1:
Bild 4.2:
Seite
Box B....................................................................................................................8
Ebene H und Box B...............................................................................................9
Gitter L..................................................................................................................9
Vereinigung der Boxen B.................................................................................10
Vereinigung der Boxen B und Ebene H............................................................10
Bild 5.1: Zellen C,C u,C u,C ( u u )
Bild 5.2:
- - - + .........................................................12
0 0 1 0 2 0 1 2
L schneidet eine der acht Kanten......................................................................13
Bild 6: Die Geraden D1 und D
2
.......................................................................................14
Bild 7: Grobes lokalisieren von u
3
..................................................................................15
Bild 8a: Darstellung des Falles: ( l - 1 ) ( l -
SP
1
)
l1 - l1 -
Bild 8b: Darstellung des Falles: ( ) SP ( )
c 2 Ï undc 2 + v 2
Ï SP .................................19
c 2 -u Ï undc 2 + v -u
Ï SP ..................19
3 2 3
Bild 9:
Unterteilung der Box B.........................................................................................21

Das Auswerten von Determinanten
III
Symbolverzeichnis
U bezeichnet den Vektor ( x,y,z )
i
i i i
u
i
bezeichnet die Projektion des Vektors
i
E bezeichnet die Einheitsvektoren, mit iÎ
{ x,y,z}
i
U auf die Horizontalebene mit z=0
H ist eine Ebene, die durch den Ursprung geht und von Uund
1
U
2
aufgespannt wird
L
H
Gitter in der Ebene H, dass von
1 2
LH = lU
1 1+ lU;l,l
2 2 1 2΢
L Gitter in der Horizontalebene das durch u1 undu2erzeugt wird:
L= { lu
1 1+ lu;l,l
2 2 1 2΢
}
C Zelle aus dem Gitter L: ( ) ( )
U und U erzeugt wird: { }
{ 1 1 1 2 2 2 1 2 }
C= l +e u + l +e u,0 £e , e £ 1 mit dem
Referenzpunkt lu 1 1
+ lu 2 2
Å Minkowski Summe
B eine Box der Höhe z1+ z2, die durch die zylindrische Projektion des Parallelogramms
u1Å u2
entlang der z-Achse entsteht
B Vereinigung aller Boxen B
K() bezeichnet Gitterkanten
c() bezeichnet Eckpunkte einer Gitterkante, mit c( l) ÎK( l )
SP
„single precision“

Das Auswerten von Determinanten 1
1 Einführung
Was soll bei den Determinanten ausgewertet werden?
Es soll das Vorzeichen der Determinanten herausgefunden werden, wobei man nur (b+1)-Bit
Arithmetik benutzten darf. Dabei steht b für die Anzahl der Bits aus denen der größte Eintrag
der Determinante besteht. Bei den Determinanten handelt es sich um 2x2 oder 3x3
Determinanten.
Wozu wird das Vorzeichen einer Determinante benötigt?
Es gibt viele geometrische Algorithmen, bei denen das Vorzeichen der Determinanten
entscheidet wie der Algorithmus weiter verfahren soll, z.B. „which_side“
(„Orientierungstest“).
Im Zweidimensionalen: Seien A= ( A,A
x y)
und B ( B,B
x y)
bilden und C ( C,C
x y)
= zwei Punkte, die eine Gerade
= ein weiterer Punkt. Um zu bestimmen, auf welcher Seite der
Geraden AB C liegt, muss man das Vorzeichen der Determinante D ausrechnen.
Mit
A -C A -C
D=
B - C B - C
x x y y
x x y y
Ist die Determinante D negativ, so liegt C rechts von AB . Falls D positiv ist, liegt C links von
AB , ansonsten (D = 0) existiert eine Gerade, auf der alle drei Punkte liegen.
Es sei gesagt, dass dieser Test auch auf den d-Dimensionalen Raum angewandt werden kann.
Dabei bilden die Punkte A,...,A
1 deine Hyperebene und C sei wieder der zu suchende Punkt.
Dann gibt das Vorzeichen der Determinante
D=
A
A
1
d
-C
M
- C
an, ob C zu der Hyperebene oder zu einem der Halbräume gehört.

2 Darius Wieczorek
Warum nur (b+1)-Bit Arithmetik?
Die Zielsetzung dieses Algorithmus ist es, so wenige Bits wie möglich zu verwenden. Dies
impliziert, dass der Algorithmus keine Zahlen miteinander multipliziert und daher auch keine
Ergebnisse der Determinanten liefert.
Grundidee des Algorithmus:
Sollte das Vorzeichen der Determinante nicht direkt ermittelt werden können, so wird die
ursprüngliche Matrix durch eine Matrix ersetzt, deren Determinante gleich ist, aber deren
Einträge eindeutig kleiner sind. Dadurch wir sichergestellt, dass der Algorithmus terminiert.
Als Hilfsmittel wird die Standard-Zeilenaddition verwendet, bei der zu einer Zeile eine
Linearkombination einer anderen Zeile hinzuaddiert wird.
Die Ausführungen in dieser Arbeit basieren auf dem Artikel Evaluating signs of determinants
using single-precision arithmetic von Avnaim et al.

Das Auswerten von Determinanten 3
2 Der zweidimensionale Fall
Sei D =
x
x
y
1 1
y
2 2
eine 2x2 Determinante deren Einträge b-Bit Integer Zahlen sind.
2.1 Voraussetzung für dieses Kapitel
· Die Einträge der Determinante sind immer ungleich Null. Wäre ein Eintrag gleich
Null, so würde sich die Determinante auf das Produkt zweier Zahlen reduzieren und
man bräuchte nur noch die Vorzeichen der beiden Zahlen zu vergleichen um das
Vorzeichen der Determinante zu erhalten.
· O.B.d.A soll gelten, dass alle Einträge der Determinante positiv sind. Deshalb wird
eine Fallunterscheidung gemacht, um zu sehen inwiefern sich das Vorzeichen der
Determinanten verändert, wenn man alle Einträge positiv macht. Hierbei wurden nur
die Vorzeichen der Einträge verwendet, da die Größe der Einträge keine
Auswirkung auf das Vorzeichen der Determinante hat. Hierbei soll eine
Determinante mit einem positiven Vorzeichen und mit positiven Einträgen, wie folgt
+ + Þ + * + - + * + = ( + ) - ( + )
aussehen: ( ) ( )
+ +
o Ein Eintrag ist negativ:
+ - + +
• , Þ ( + * + ) - ( + * - ) Þ
+ + - +
Determinante ist positiv.
- + + +
• , Þ ( - * + ) - ( + * + ) Þ
+ + + -
Determinante ist negativ.
Das Vorzeichen der
Das Vorzeichen der
In allen vier Fällen kann nicht bestimmt werden wie sich das Vorzeichen der
Determinante verändert. Dies ist auch nicht nötig, da das Vorzeichen der
Determinante sofort bestimmt werden kann.
o Zwei Einträge sind negativ:
+ - - + + + - -
, , , Þ ( + * - ) - ( + * - ) = ( - ) - ( - )
• + - - + - - + +
=- [( + )-( + )] ÞDas Vorzeichen wechselt
+ -
• Þ ( + * + ) - ( - * - ) = ( + ) - ( + ) Þ
- +
nicht.
Das Vorzeichen ändert sich
- +
• Þ ( - * - ) - ( + * + ) = ( + ) - ( + ) Þ
+ -
nicht.
Das Vorzeichen ändert sich

4 Darius Wieczorek
o Drei Einträge sind negativ:
+ - - -
• , Þ ( + * - ) - ( - * - ) = ( - ) - ( + ) Þ
- - - +
Determinante ist negativ.
Das Vorzeichen der
- - - +
• , Þ ( - * - ) - ( + * - ) = ( + ) - ( - ) Þ
+ - - -
Determinante ist positiv.
Das Vorzeichen der
Wie im Fall mit einem negativen Eintrag, kann auch hier nicht bestimmt
werden wie sich das Vorzeichen der Determinante verändert. Dies ist ebenfalls
nicht nötig, da das Vorzeichen der Determinante auch hier sofort bestimmt
werden kann.
o Alle Einträge sind negativ:
- -
• Þ
- -
( - * - ) - ( - * - ) = ( + ) - ( + ) Þ
nicht.
Das Vorzeichen ändert sich
Es wurde gezeigt, dass man alle Einträge einer 2x2 Determinante positiv machen kann
und sich dabei nur in wenigen Fällen das Vorzeichen der Determinante verändert.
Damit ist die oben genante Voraussetzung erfüllt.
· O.B.d.A soll gelten, dass x2 ³ x1 und y2 ³ y1. Deshalb muss auch hier eine
Fallunterscheidung gemacht werden, inwiefern das Vertauschen von Einträgen einen
Einfluss auf das Vorzeichen der Determinante hat. In den meisten Fällen, kann aber
das Vorzeichen der Determinante sofort herausgefunden werden, so dass die
Auswirkungen der Vertauschungen nicht mehr wichtig sind.
o Falls x2 > x,y
1 2
£ y1 oder x2 ³ x,y
1 2
< y1
Þ xy < xy
1 2 2 1
Þ xy - xy < 0
Þ D<
0
1 2 2 1
o Fallsx2 < x,y
1 2
³ y1 oder x2 £ x,y
1 2
> y1
Þ xy > xy
1 2 2 1
Þ xy - xy > 0
Þ D>
0
1 2 2 1
o In den beiden anderen Fällen:
x ³ x ,y ³ y und
2 1 2 1
x £ x ,y £ y
2 1 2 1

Das Auswerten von Determinanten 5
kann man das Vorzeichen noch nicht herausfinden, aber man kann o.B.d.A.
voraussetzen, dass gilt: x2 ³ x1 und y2 ³ y1
Im ersten Fall muss nicht verändert werden. Im zweiten Fall müssen die Zeilen
vertauscht werden, wodurch sich das Vorzeichen der Determinante verändert.
2.2 Der Algorithmus bei 2x2 Determinanten
Unter den oben genannten Annahmen können wir schreiben:
und definieren:
Dann ist
x = xk + x mit k Î N und 0 £ x < x
2 1 1 r 1 r 1
y = y - ky
r
2 1 1
x y x y x y
D = = =
x y x - kx y - ky x y
1 1 1 1 1 1
2 2 2 1 1 2 1 1 r r
· Falls
y
1
b
2
> ist, kann y
r
nicht berechnet werden. In diesem Fall ist y
r
jedoch
k
1
negativ, daher muss D < 0 sein (da x,x
1 r
und y
1
stets positiv sind).
· Falls y
r
berechnet werden kann, aber außerhalb des Intervalls [0,y]
1
liegt, kann das
Vorzeichen von D bestimmt werden:
o
yr
< 0 Þ D<
0
o yr > y1
Þ D>
0
· Außerdem direkt bestimmt werden kann das Vorzeichen in den folgenden Fällen:
x
y
x < und y > Þ D>
0
2 2
1 1
o
r
r
x
y
x > und y < Þ D<
0
2 2
1 1
o
r
r
· In allen anderen Fällen wird die Determinante D wie folgt neu gesetzt:
x1
y1
o Falls xr
< und yr
< , dann ist
2
2
x1
y1
o Falls xr
> und yr
> , dann ist
2 2
x y
D = x y
1 1
r
x
D 1 1
= x 1- x y y
r 1-
r
Sollte der Algorithmus nicht bereits bei der ersten Wiederholung das Vorzeichen der
Determinante berechnen, so erhalten wir eine neue Determinante. Dabei sind die Werte in der
zweiten Zeile der neuen Determinante jeweils höchstens halb so groß wie die in der
r
y

6 Darius Wieczorek
vorherigen Determinante. Dieser Vorgang wird so lange wiederholt, bis das Vorzeichen
berechnet ist.
Zusammenfassend:
In jeder Wiederholung werden nur Vergleiche bzw. Divisionen mit Rest gemacht. Die Anzahl
der Wiederholungen ist nach oben hin beschränkt durch den Logarithmus des größten
Eintrags der Determinante, d.h. durch die Anzahl b der Bits, die man benötigt um den größten
Wert der Determinante darzustellen. Hieraus ergibt sich das folgende Theorem:
Theorem 1:
Sei D eine 2x2 Determinante mit b-Bit Integer Einträgen. Dann existiert ein Algorithmus, der
das Vorzeichen von D mit nur b-Bit Arithmetik berechnet. Der Algorithmus erfordert
höchstens b-Wiederholungen. Jede Wiederholung bringt O(1) Additionen / Subtraktionen,
Vergleiche und Divisionen mit Rest mit sich.
3 Der dreidimensionale Fall
3.1 Einleitung
Sei
x y z
1 1 1
D= x y z eine 3x3 Determinante, deren Einträge b-Bit Integer Zahlen sind.
2 2 2
x y z
3 3 3
Der Vektor (x
i,y,z) i i
wird mit U
i
bezeichnet und die Einheitsvektoren entlang der drei
Achsen werden mit E,E
x y
und E
z
bezeichnet. Die z-Richtung wird Vertikale genannt und u
bezeichnet die vertikale Projektion des Vektors U auf die Horizontalebene mit z = 0.
O.B.d.A soll gelten, dass alle z
i
nicht negativ sind und dass z3 > z,z
1 2
ist.
· Damit ein negatives z
i
positiv wird, muss die i-te Zeile der Determinante mit (-1)
multipliziert werden. Dies hat zur Folge, dass sich das Vorzeichen der Determinante
verändert.
· Damit z
3
größer wird als z1 und z
2
muss man gegebenenfalls eine Zeilenvertauschung
vornehmen. Diese hat ebenfalls zur Folge, dass sich das Vorzeichen
der Determinante verändert.
· Falls die Summe aus der Anzahl der negativen z
i
Einträge und der Anzahl
benötigter Zeilenvertauschungen ungerade ist, verändert sich das Vorzeichen der
Determinante, andernfalls nicht.
Hier und in den Abschnitten 3.1-3.3.4 wird angenommen, dass die Projektionen u,u
1 2
von
U,U
1 2
nicht colineare Vektoren sind (z.B. die Vektoren sind linear unabhängig). Daraus geht
hervor, dass die drei Vektoren U,U
1 2
und E
z
linear unabhängig sind, und man kann U
3
ersetzen durch

Das Auswerten von Determinanten 7
mit k1, k2,
kΡ
3
.
Daraus folgt, dass
U3 =k
1U1+k 2U2 +k
3Ez
(1)
x y z
1 1 1
D=
x y z
2 2 2
x3 y3 z
{
3
*
(1)
=
x y z
1 1 1
x y z
2 2 2
k x +k x +k E k y +k y +k E k z +k z +k E
1 1 2 2 3 z 1 1 2 2 3 z 1 1 2 2 3 z
=
x y z
1 1 1
x y z
2 2 2
k x +k x k y +k y k z +k z +k
1442443
-k U; -k U
*
1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 3 1 1 2 2
=
x y z
1 1 1
x y z
2 2 2
0 0 k : k
3 3
=k
x y z
1 1 1
3 2 2 2
( )
x y z 2
0 0 1
Daraus folgt wiederum: Falls das Vorzeichen von k
3
bekannt ist, reduziert sich das Problem
auf eine 2x2 Determinante:
x y z
1 1 1
x y z = xy - xy=
2 2 2 1 2 2 1
0 0 1
x
x
y
1 1
y
2 2
Nun wird gezeigt, in welchen Fällen das Vorzeichen von k
3
festgestellt werden kann:

8 Darius Wieczorek
Aus den oberen Umformungen entnehmen wir die Gleichung (siehe *):
z3 =k
3+k 1z1+k2z2 Þ k
3
= z3-k1z1-k 2z2
(3)
Hierbei sei k
1
= k
1+r1, k
2
= k
2
+r
2, mit k
1
= êëk 1úû,k 2
= êëk 2úû
und 0 £r1, r
2
< 1.
Wir definieren: R = U3-kU 1 1-
kU
2 2
Indem man R bezüglich der z-Komponente ausrechnet, erhält man mit Hilfe von (1):
z =k U +k U +k E -kU 144424443
-kU
=
U
R 1 1 2 2 3 z 1 1 2 2
3
= (k +r )z + (k +r )z +k -kz -kz
1 1 1 2 2 2 3 1 1 2 2
=r z +r z +k
1 1 2 2 3
Falls zR
< 0 ist, dann ist k
3
< 0 und falls zR > z1+ z2
ist, dann ist k
3
> 0 . Ansonsten liegt R
im Durchschnitt B der zylindrischen Projektion des Parallelogramms u1Å u2
entlang der z-
Achse mit 0£ zW £ z1+ z2
(siehe Bild 1).
Bild 1: Box B
In diesem Fall ist das Vorzeichen von k
3
immer noch unbekannt, aber man kann eine neue
Determinante aufstellen, bei der die Zeile mit dem höchsten z-Eintrag durch R ersetzt wird:
x y z
1 1 1
D= x y z (4)
2 2 2
x y z
R R R

Das Auswerten von Determinanten 9
Geometrische Interpretation der bislang verwendeten Definitionen:
Sei H die Ebene, die durch den Ursprung geht und von Uund
1
U
2
aufgespannt wird. Die
Vektoren Uund
1
U
2
erzeugen in der Ebene H ein Gitter LH = { lU
1 1+ lU,l,l
2 2 1 2΢ } (siehe
Bild 2). L
H
wird auf das Gitter L der Horizontalebene projiziert, das durch u1 undu
2
C= l +e u + l +e u,0 £e , e £ 1 von L
{ 1 1 1 2 2 2 1 2 }
aufgespannt wird (siehe Bild 3). Jeder Zelle ( ) ( )
wird ein Referenzpunkt lu 1 1
+ lu 2 2
zugeordnet. Insbesondere ist ku
1 1+ ku
2 2der Referenzpunkt
der Zelle L die u3
enthält. Des Weiteren wird jeder Zelle C mit dem Referenzpunkt lu 1 1
+ lu 2 2
eine Box zugeordnet. Die Box ist eine Kopie von der Box B, jedoch wird sie durch den
Vektor lU 1 1
+ lU 2 2
abgebildet. Sei B die Vereinigung aller Boxen, dann enthält B die Ebene
H und man kann B als einen Näherungswert von H ansehen (siehe Bild 4.1 und 4.2).
Bild 2: Ebene H und Box B
Bild 3: Gitter L

10 Darius Wieczorek
Bild 4.1:
Vereinigung der Boxen B
Bild 4.2:
Vereinigung der Boxen B und Ebene H
· Falls U
3
sich oberhalb von B befindet ist k
3
positiv,
· falls U
3
sich unterhalb von B befindet ist k
3
negativ oder
· ansonsten kann U
3
durch einen Vektor aus B ersetzt werden.

Das Auswerten von Determinanten 11
3.2 Der Algorithmus
Der Algorithmus benötigt höchstens O(b) Wiederholungen, wobei jede Wiederholung aus
drei Schritten besteht.
· Vorbereitender Schritt (siehe Unterpunkt 3.3): Hierbei werden einige einfache Fälle
sofort gelöst und die Determinante wird für weitere Berechnungen vorbereitet.
· Erster Schritt (siehe Unterpunkt 3.4): Der Algorithmus stellt fest, ob U
3
sich
oberhalb, unterhalb oder innerhalb von B befindet. In den beiden ersten Fällen wird
die 3x3 Determinante auf eine 2x2 Determinante reduziert und von dem zweidimensionalen
Algorithmus weiter berechnet. Im dritten Fall wird U
3
in eine
Richtung die parallel zu H ist abgebildet, damit gilt R = U3 -kU 1 1-kU 2 2
Î B.
Obwohl R innerhalb von B liegt kann man nicht ohne weiteres mit den Vektoren
U,U,R weiter rechnen, da die Binärdarstellung von R größer als (b+1)-Bits sein
( )
1 2
kann. Außerdem erfüllt z
R
nur die Bedingung 0£ zR £ z1+ z2
nicht aber, dass
z
< z ist.
R 3
· Zweiter Schritt (siehe Unterpunkt 3.6): In diesem Schritt findet der Algorithmus
'
entweder das Vorzeichen von k
3
oder einen Vektor R = R+q 1U1+q 2U2
mit
( q1, q2Î- { 1,0, + 1}) . Die Kodierlänge der x und y Komponenten ist dabei nicht
z
länger als b und die z Komponente ist kleiner als
3
2 .
Nach höchstens drei Wiederholungen ist eine Halbierung der größten z-Komponente
erreicht. Daraus folgt, dass man insgesamt höchstens 3b Wiederholungen benötigt, um
herauszufinden, dass D=0 ist, oder um eine 2x2 Determinante zu erhalten.
3.3.1 Vorbereitender Schritt
Als erstes werden die Zeilen mit negativen z-Einträgen mit (-1) multipliziert. Falls die Anzahl
der negativen z-Einträge ungerade ist ändert sich das Vorzeichen. Als nächstes werden die
Zeilen so vertauscht, dass U
3
die größte z-Komponente besitzt. Hierbei gilt ebenfalls: falls
die Anzahl der Vertauschungen ungerade ist ändert sich das Vorzeichen von D.
Falls nach den Umformungen der Determinante alle drei Unterdeterminanten
x1 y1 x2 y2
x3 y3
, und
x y x y x y
2 2 3 3
1 1
positiv (negativ) sind, dann ist auch D positiv (negativ).
3.3.2 Der erste Schritt
In jeder Wiederholung wird als erstes entweder das Vorzeichen von k
3
bestimmt, oder falls
U
3
in B liegt, wird der Vektor R = U3-kU 1 1- kU
2 2
bestimmt.

12 Darius Wieczorek
Weil der Vektor U
3
b-Bit Integer Komponenten enthält, sind die Koordinaten der Punkte aus
b
dem Liniensegment 0U3 und0u
3
stets kleiner als 2 . Um R auszurechnen wird eine
Teilmenge von O(b) Kanten, die von 0u3
geschnitten werden, aus dem Gitter L überprüft. Für
jede dieser Kanten wird die entsprechende Kante aus dem Gitter L
H
betrachtet. Falls die z-
Koordinate aller betrachteten Kanten innerhalb der Grenzen der (b+1)-Arithmetik bleibt, dann
endet die Prozedur sobald die Zelle, die u
3
beinhaltet, gefunden wird. Falls aber eine der
betrachteten Kanten aus L
H
zu einer Box gehört deren z-Bereich die (b+1)-Bit Darstellung
vollkommen übersteigt, dann erstreckt sich der z-Bereich dieser Kante vollkommen außerhalb
der Grenzen der b-Bit Darstellung. In diesem Fall kann das Vorzeichen von k
3
leicht
bestimmt werden und die Berechnung von R wird angehalten.
3.3.2.1 Standardisieren der Basis
Die Grenze des Parallelogramms, das sich aus den vier Zellen C,C
0 0
-u,C 1 0
- u,
2
C0 -( u1+ u2)
zusammensetzt (mit C0 = u1Å u2), besteht aus acht Zell-Kanten (in den
folgenden Zeichnungen werden die Kanten mit *1 bis *8 bezeichnet. Siehe Bild 5.1 und 5.2):
Bild 5.1: Zellen C,C -u,C -u,C -( u + u )
0 0 1 0 2 0 1 2
Sei L eine Halbgerade, die in 0 ihren Ursprung hat und u3
enthält. Um herauszufinden von
welcher der acht Kanten L geschnitten wird, wird eine gradlinige dreistufige binäre Suche
ausgeführt („straightforward tree-step binary search“). Die Suche sieht wie folgt aus:
· Es werden die Vorzeichen von vier 2x2 Determinanten ausgerechnet, wobei die
Determinanten die Form
u 3
w mit w { u,u,u }
1 2 1
u,u
2 1
u2
Î + - haben.
· Anhand der Vorzeichen der Determinanten lässt sich die Kante eindeutig bestimmen
von der L geschnitten wird.
o Beispiel: Falls alle vier Determinanten negativ sind und u,u
1 2
stets positive
Einträge haben, dann kann L nur die Kante *8 schneiden (siehe Bild 5.2).

Das Auswerten von Determinanten 13
Bild 5.2:
L schneidet eine der acht Kanten
· Auf diese Weise lässt sich ebenfalls die Zelle bestimmen die von L geschnitten wird.
'
Sei C C eu eu e,e Î 0,1 eine solche Zelle.
= - - mit { }
0 0 1 1 2 2
1 2
· Falls eine der Determinanten 0 ist, dann ist entweder k1 = k2
oder eines der k´s=0,
i
in beiden Fällen kann man R wie im zweidimensionalen Fall ausrechnen.
x y z x y z x y z
1 1 1 1 1 1 1 1 1
x y z = x y z = x y z
2 2 2 2 2 2 2 2 2
x y z x -kx -kx y -ky -ky z -kz -kz x y z
3 3 3 3 1 1 2 2 3 1 1 2 2 3 1 1 2 2 R R R
Damit der Algorithmus unabhängig von den Vorzeichen von u1 undu
2
fortfahren kann, wird
die ursprüngliche Basis ( ) 1 2
u,u durch die Basis ( v,v ) , mit ( )
1 2
v = - 2e + 1u,undi=
1,2
i i i
ersetzt. c
u
(bzw.c)
v
bezeichnet hierbei den Referenzpunkt der Zelle C, aus dem Gitter L, die
u,u bzw. v,v als Basisvektor von C verwendet wird. Daraus
u beinhaltet, falls ( ) ( )
3
( )
1 2 1 2
ergibt sich die folgende Gleichung:
Sei
cu = cv + eu
1 1+ eu
2 2
(5)
D,i
i
= 1,2 die horizontale Gerade die v
i
enthält.
3.3.2.2 Vorbereitung auf das lokalisieren von u
3
'
Als nächstes muss getestet werden, ob u
3
zu der Zelle C
0
gehört, oder nicht. Dieser Test
beinhaltet das Lokalisieren von u
3
mit Hilfe der Kante, die von der Halbgeraden L
geschnitten wird. Will man u
3
lokalisieren, so muss man entweder das Vorzeichen von

14 Darius Wieczorek
u
v
1
- v
3 2
mit Bezug auf die Gerade D1+ v2
oder das Vorzeichen von
u
- v
3 1
v
2
mit Bezug auf
die Gerade D2 + v1
berechnen. Dabei enthält die Gerade D1+ v2 bzw. D2 + v1
die Kante, die
von der Halbgeraden L geschnitten wird. Falls das Vorzeichen der Determinante negativ ist,
'
'
' '
dann gilt u3Î C0. Falls u
3
sich innerhalb der Zelle C
0
befindet, dann gilt k1 = k2
= 0und
man leitet c
u
und den dazugehörigen Punkt C
u
aus L
H
mit Hilfe von (5) her. Dann wird
R = U3
- C berechnet und man fährt mit dem Schritt 3.3.2.6 fort. Ansonsten, wird mit dem
Schritt 3.3.2.3 fortgefahren.
3.3.2.3 Grobes Lokalisieren von u
3
.
Bild 6: Die Geraden D1 und D
2
Sei K(1) die erste Gittergerade, die von 0u
3
durchquert wird. O.B.d.A wird vorausgesetzt,
dass jetzt und später K1 ( ) = D2 + v1
(siehe Bild 6). Für lÎ¥ , bezeichnen wir mit K( l ) die
D v
0u geschnitten wird und zu ( )
Linie
2
+l
1. Die Eckpunkte der Kante, die von
3
werden mit c( ) undc( ) v2
'
'
lÎ ¥ ,mit0£l

Das Auswerten von Determinanten 15
l1
1 Falls der Punkt c( 2 - l 1
) errechnet wurde, dann schneidet 0u
3
die Gerade K( 2 -
)
l1 - l1 -
' ''
zwischen c( 2 ) undc( 2 ) + v 2
. Seien zundz die z-Koordinaten der zwei
korrespondierenden Punkte des Gitters
• Falls
• Falls
L
H
, mit
' ''
zundz negativ sind, dann ist k
3
> 0
' ''
zundz jeweils größer sind als
' ''
z z z 2
- = .
b
2 , dann ist k
3
< 0
In diesen Fällen ist das Vorzeichen von D bekannt und der Algorithmus hält an. In den
anderen Fällen sind die Kodierlängen der z-Koordinaten höchstens (b+1)-Bits lang und
der Algorithmus kann fortfahren.
2 Als nächstes wird durch das Berechnen des Vorzeichens von
l
ob die Gerade K( 2 ) von 0u
3
geschnitten wird. Man beachte dabei, dass
l-1
l
2c( 2 ) Î K( 2 ) ist.
· Falls 0
l
D< ist, dann wird ( )
Schritt 3.3.2.4 fort.
c 2
· Ansonsten wird ( l
)
l 1
3 Weil K( 2 - ) von
3
l-1
( )
u3
-2c 2
D= bestimmt,
v
K 2 von 0u3
nicht geschnitten und man fährt mit
, so wie in Teilschritt 3 beschrieben, berechnet.
l1 - l1 -
0u zwischen c( 2 ) undc( 2 ) + v 2
geschnitten wird, muss auch
l
l-1 l-1
K( 2 ) von 0u
3
zwischen ( ) ( )
( l
l 1
c 2 ) entweder 2c( 2 - l-1
) , oder 2c( 2 ) + v 2
sein (siehe Bild 7). Welcher der beiden
Kandidaten letztendlich c( 2 l
) ist, kann durch das Berechnen des Vorzeichens der 2x2
Determinante
u
3
l-1
( )
2c 2
+ v
2c 2 und2c 2 + 2v 2
geschnitten werden. Folglich muss
2
herausgefunden werden.
Falls im Teilschritt 2 herausgefunden wird, dass
3
u zu der Geraden (
l
)
l
l1
u zwischen K( 2 ) undK( 2 + ) . Daher wird
f
l
2
2
K 2 gehört ( D= 0 ),
dann befindet sich
3
l = gesetzt und es geht
mit dem Schritt 3.3.2.5 weiter. Ansonsten wird die Suche in den Teilschritten 1-3 fortgesetzt.
Bild 7: Grobes lokalisieren von u
3

16 Darius Wieczorek
3.3.2.4 Bestimmung von l
f
Es wird vorausgesetzt, dass
3
k
k 1
0u die Gerade K( 2 ) aber nicht die Gerade K( 2 +
)
schneidet.
Die Integer Zahl l wird von dem Algorithmus derart berechnet, dass 0u3
dieGeradeK( l )
schneidet, aber nicht die Gerade K( l+ 1)
. Außerdem wird l
f
=l gesetzt. Bei der
Bestimmung von l handelt es sich um eine binäre Suche. Die Suche besteht aus k Schritten,
die wie folgt nummeriert werden: k-1, k-2, …, 0. l
h
wird so bezeichnet, dass gilt:
0u schneidet ( )
3
h
K l
h
aber nicht K( l
h
+ 2 )
In den folgenden Teilpunkten wird schrittweise gezeigt werden, wie
h
undc( h)
aus undc( )
h+ 1 h+
1
l l induktiv
l l berechnet werden. Die Basis für die Induktion ist gegeben durch
h+ 1= kund l = 2
h+
1
k
1 Seien, wie bereits im Teilschritt 1 von Schritt 3.3.2.3,
c undc v
lh+ 1
l
h+
1
+
2
aus dem Gitter
H
den Punkten ( ) ( )
• Falls beide z-Koordinaten negativ sind, dann ist k
3
> 0.
' ''
zundz die z-Koordinaten die
L entsprechen.
b
• Falls beide z-Koordinaten größer als 2 sind, dann ist k
3
< 0 .
In diesen beiden Fällen ist das Vorzeichen von D bekannt und der Algorithmus hält an.
' ''
Ansonsten sind die Kodierlängen von zundz jeweils höchstens (b+1)-Bit groß.
2 Als nächstes wird durch das Feststellen des Vorzeichens der 2x2 Determinante
h
u3 -c( l
'
h+
1) -c2
( )
h
D= bestimmt, auf welcher Seite von K( h+
1
2 )
v
2
l + der Punkt u
3
h
liegt. Dabei wird c( 2 ) von dem Stapel S entfernt. Falls u
3
auf der selben Seite von
h
'
K( l
h+
1+ 2 ) wie 0 liegt ( D< 0 ), dann ist
h+ 1 h,c( h) c( h+
1)
dem Schritt h-1 weiter. Ansonsten, falls
c( l
h ) berechnet werden.
3 Weil K( l
h ) von
3
wird, muss ( h )
l =l l = l und es geht mit
'
D³ 0 ist, ist
l =l + und es muss
h
h h+
1
2
h
h
0u zwischen ( + ) ( ) ( + ) ( )
h
h
c l entweder c( + ) c2 ( ) oderc( + ) c( 2 ) v
c l + c 2 undc l + c 2 + 2v geschnitten
h 1 h 1 2
l + l + + sein. Welcher
h 1 h 1 2
der beiden Kandidaten letztendlich c( l
h ) , ist kann durch das Vorzeichen der 2x2
Determinante
u
3
h
( + ) ( )
c l + c 2 + v
h 1 2
bestimmt werden.
'
Im dem Spezialfall aus dem Teilschritt 2, wenn die Determinante D= 0 ist, wird
h
l =l + gesetzt und der Algorithmus fährt mit dem Schritt 3.3.2.5 fort.
f h+
1
2
Die Suche wird so lange fortgeführt bis eines der folgenden Ereignisse zutrifft:
· Der Algorithmus hält an,
· Der Algorithmus geht in den Schritt 3.3.2.5 über,
· Alle k Schritte (k-1, k-2, …, 0) wurde durchgeführt
Im letzten Fall wird l
f
=l
0
gesetzt und der Algorithmus fährt mit dem Schritt 3.3.2.5 fort.

Das Auswerten von Determinanten 17
3.3.2.5 Lokalisieren der Zelle, die u
3
enthält
In diesem Unterpunkt wird die Zelle aus dem Gitter L bestimmt, die u
3
enthält. Es ist bereits
bekannt, dass u
3
sich in dem Parallelogramm c ( lf) ,c( l
f) + v,c
1 ( l
f ) + v1+ 2v
2,c( l
f ) + 2v2
befindet. Ein letzter Test lokalisiert
3
die Zelle C aus dem Gitter L, die u
3
enthält. Falls
u bezogen auf die Gerade ( )
u -c( l ) -v
3 f 2
v
1
D + c l + v und bestimmt
1 f 2
³ 0 ist, dann ist C die
Zelle deren Referenzpunkt c( l
f ) ist. Ansonsten ist C die Zelle deren Referenzpunkt
c( ) v
c von C mit der Basis ( )
l
f
+
2
ist. Der Referenzpunkt
u
u,u
1 2
und den entsprechenden
Punkt Cu von L
H
erhält man durch die Gleichung (5) und man berechnet R = U3- Cu.
3.3.2.6 Ende des ersten Schrittes
Falls zR
< 0 ist, dann ist k
3
< 0 und falls zR > z1+ z2
ist, dann ist k
3
> 0 . Ansonsten geht der
Algorithmus in den zweiten Schritt über.
Damit endet die Beschreibung des ersten wichtigen Schrittes des Algorithmus. Der Vektor
r= u - c gehört zu der Zelle aus L deren Referenzpunkt 0 ist, folglich ist die Kodierlänge
3 u
von xR
und y
R
höchstens (b+1)-Bit groß und 0£ zR £ z1+ z2.
3.3.3 Die Arithmetik
In diesem Absatz wird gezeigt, dass (b+1)-Bit Arithmetik ausreicht, um den oben genannten
Algorithmus auszuführen. Dabei muss die Annahme, dass U,U
1 2
und U
3
b-Bit Integer
Zahlen sind, gelten.
Als erstes wird gezeigt, dass alle c( l) undc( l ) + v2
durch (b+1)-Bits repräsentiert werden
können. Weil p= K( l) Ç 0u3
zu dem Liniensegment 0u
3
gehört, ist die Kodierlänge seiner
Koordinaten kleiner als die von u,
3
und weil c( l ) zu dem Liniensegment p- u,p
2
+ u2
gehört, reicht ein Bit mehr aus um c( l ) zu speichern.
Als nächstes wird gezeigt, dass die Berechnung von R, die in den Schritten 3.3.2.2 und 3.3.2.6
durchgeführt wird, nicht mehr als (b+1)-Bit benötigt. Die Berechnung der x- und y-
Komponenten von R ist unproblematisch, weil c,u
v 3-c,und v
u3 - cu
mit höchstens (b+1)-
Bits dargestellt werden kann. Sei z
v
die z-Komponente von dem Punkt Cv von L
H, die sich
auf c
v
bezieht und sei z
u
die z-Komponente von C
u
. Die Bitlänge von z
v
beträgt höchstens
b+1 und aus der Gleichung (5) kann man entnehmen, dass die Bitlänge von z
u
nicht die
Bitlänge von z
v
überschreitet.
b
· Falls zu
< 2 , dann kann zR = z3- zu
mit (b+1)-Bit Arithmetik berechnet werden
· Falls z
u
negativ ist mit
berechnet werden.
z 2
u
b
> , dann sind zR 3
und k negativ und R muss nicht

18 Darius Wieczorek
Als letztes wird gezeigt, dass das Vorzeichen der Determinanten aus den Teilschritten 2 und 3
mit (b+1)-Bit Arithmetik herausgefunden werden kann. Die Vektoren, die in diesen
u,u,u undeinigenc l :
Determinanten auftauchen sind Kombinationen aus den Vektoren ( )
1 2 3
l 1
z.B. Im Teilschritt 3, aus dem Schritt 3.3.2.3, muss 2c( 2 -
)
berechnet werden. Aus der
Beschreibung des Algorithmus geht hervor, dass dieser Vektor mit (b+3)-Bit Arithmetik
berechnet werden kann. Im Folgenden wird gezeigt, wie man die Anzahl an Bits derart
reduzieren kann, dass für jeden Unterpunkt lediglich (b+1)-Bit Arithmetik benötigt wird.
Teilschritt 2, aus Schritt 3.3.2.3: In diesem Schritt wird getestet, auf welcher Seite von
l
K( 2 ) der Punkt u
3
liegt. Ein Problem tritt auf, falls mindestens eine der Koordinaten von
l 1
u3
2c( 2 -
l 1
- ) nicht mit (b+1)-Bits darstellbar ist. Daher wird der Punkt 2c( 2 -
)
l
anderen Punkt w aus K( 2 ) ersetzt, so dass u3
b b b b
é ù é ù
- w mit (b+1)-Bits darstellbar ist. Sei
durch einen
SP @ ë -2 ,2 û ´ ë -2 ,2 û der „single precision“-Bereich. Es wird verlangt, dass solch eine
Konstruktion erreicht werden kann, falls wenigstens einer von den beiden Punkten
{ ( l - 1 l1 -
c 2 ),c2 ( ) v 2 }
( l - 1 ) ( l - 1
)
{ c 2 u,c2 v u }
3 2 3
+ und wenigstens einer von den beiden Punkten
- + - zu dem SP-Bereich gehört. Seien w1 und w2 - u3
Punkte aus
dem SP-Bereich, die aus den beiden Mengen ausgewählt wurden, dann folgt daraus, dass der
-w -(w - u) = u -(w + w) mit (b+1)-Bits darstellbar ist und dass
Punkt
1 2 3 3 1 2
+ Î ( l
) ist, weil w,w ( l 1
1 2
K 2 -
)
w w K 2
u
1 2
3
- w
v
2
Î sind. Daraus folgt, dass die Determinante
mit (b+1)-Bits darstellbar ist. Die Alternativen sehen wie folgt aus:
(i) ( l - 1 ) SP ( l - 1
)
l
auf der selben Seite von K( 2 ) befinden. Weil v2
l 1
K( 2 - ) das Quadrat SP* mit den Eckpunkten ( 0, 2 b
) und( b
2,0)
c 2 Ï undc 2 + v 2
Ï SP und es wird gefordert, dass u3
und0 sich
Î SP ist, schneidet die Gerade
± ± nicht (siehe Bild
l
8a). Daraus folgt, dass die Gerade K( 2 ) sich komplett außerhalb des Quadrates
2SP*, das SP enthält, befindet.
l1 - l1 -
(ii) c( 2 ) u3 SPundc( 2 ) v2 u3
SP
u3
und0 auf verschiedenen Seiten von der Geraden (
l
)
l 1
schneidet die Gerade K( 2 - *
) das Quadrat u3
l-1
wenn p der Schnitt von K( 2 ) und0u 3
ist, dann gilt:
- Ï + - Ï und es wird gefordert, dass
K 2 liegen. Weil v2
Î SP
SP + nicht (siehe Bild 8b). Folglich,
1
b 1
pu ³ -
3
pu3 2
¥ 1
2
> ,
*
weil p sich außerhalb von dem Quadrat SP + u3
befindet und daraus folgt, dass der
b
'
L1
- Abstand von u3
undp größer als 2 sein muss. Der Punkt p = 2p ist der Punkt
l
an dem sich die Geraden
3 ( )
0u undK 2 schneiden und daraus folgt:
ist,

Das Auswerten von Determinanten 19
'
b
0p 20p 20u3 2pu3 20u3 2 0u
3
,
¥ ¥ ¥ ¥ ¥
¥ = = - < - £
damit wird die Forderung, dass
3
befinden, erfüllt.
l
0undu sich auf verschiedenen Seiten von K( 2 )
Bild 8a: Darstellung des Falles: ( l - 1 ) ( l -
SP
1
)
c 2 Ï undc 2 + v 2
Ï SP
l1 - l1 -
Bild 8b: Darstellung des Falles: ( ) SP ( )
c 2 -u Ï undc 2 + v -u
Ï SP
3 2 3

20 Darius Wieczorek
Teilschritt 2, aus Schritt 3.3.2.4: Die Modifikation dieses Schrittes ähnelt der
Modifikation des Teilschrittes 2 aus Schritt 3.3.2.3. In diesem Fall wird das Vorzeichen der
u3
- w
h
Determinante berechnet, wobei der Punkt w aus der Geraden K( l
h+
1+
2 )
v
2
herausgesucht werden muss. Wie bereits bekannt ist, befinden sich u3
und0auf
h 1
verschiedenen Seiten von K( 2 +
)
h
h
c( 2 ) undc( 2 ) v 2
und damit muss einer der beiden Punkte
+ mit b-Bits darstellbar sein. Sei w
1
dieser Vektor. Wie ebenfalls bekannt
ist, befinden sich u3
und0 auf derselben Seiten der Geraden K ( h+
1)
der beiden Punkte c( ) u undc( ) v u
l und damit muss einer
lh+ 1
-
3
l
h+
1
+
2
-
3
mit b-Bits darstellbar sein. Sei w2 - u3
dieser Vektor. Das mit (-1) multiplizierte Ergebnis der Summe der beiden Vektoren
- w + w - u = u - w + w wird mit (b+1)-Bits dargestellt und
( 1 ( 2 3)
) 3 ( 1 2)
1 2 h 1
h
( + )
w @ w + w ÎK l + 2
, wie es gefordert wurde.
Teilschritt 3, aus Schritt 3.3.2.3 und 3.3.2.4: Die Einträge der Determinante
u3
aus dem Schritt 3.3.2.3 können mit (b+1)-Bits dargestellt werden, weil
l-1
2c 2 + v
( ) 2
l-1
( ) + entweder ( l
l
c 2 ) oder ( )
2c 2 v 2
Schritt 3.3.2.4.
c 2 + v 2
ist. Dasselbe gilt für die Determinante aus dem
3.3.4 Zweiter Schritt: Exponentielle Reduktion
Der zweite wichtige Schritt des Algorithmus besteht darin, entweder das Vorzeichen von k
3
'
R = R -qU -q U,mit q , q Î - 1,0, + 1 , zu finden, so
herauszufinden oder einen Vektor { }
1 1 2 2 1 2
z3
dass x
R'
,y
R'
b-Bit Integer Zahlen sind und zR'
£ ist. Um dies zu erreichen, wird die Box
2
B in vier Unterboxen aufgeteilt, so dass für jedes r das in jeder dieser Boxen liegt entweder
'
ein Vektor R bestimmt werden kann, oder das Vorzeichen von k
3
leicht erhalten werden
kann.
Die Projektion der Box B auf die Ebene entspricht dem Parallelogramm u1Å
u2. Der
Algorithmus lokalisiert die Projektion r von R in Bezug auf die beiden Diagonalen des
Parallelogramms, die u1 mit u2 und0mit u1+ u
2
verbinden, indem die Vorzeichen von den
Determinanten
r r-u1
und
u + u u -u
1 2 2 1
berechnet werden (siehe Bild 9).
Im Folgenden wird der nächste Schritt nur für eine der vier Subboxen gezeigt, weil die
Behandlung der anderen Boxen analog geschieht. Daher soll O.B.d.A gelten, dass r zu dem
æ u1+
u2
ö
Dreieck ç 0,u, 1 ÷
è 2 ø gehört.

Das Auswerten von Determinanten 21
Bild 9: Unterteilung der Box B
æ z1+
z2
ö
· Falls zR > supç z,
1 ÷
è 2 ø ist, dann ist k
3
> 0
· Falls zR
< 0 ist, dann ist k
3
< 0
'
· Ansonsten wird der Vektor R aus den beiden Vektoren RundR- U1
ausgewählt.
Ausschlaggebend für die Auswahl ist dabei der kleinere modulo Wert der dritten
Komponente. Daraus folgt, dass
sup( z,z
1 2)
z3
zR'
£ £ .
2 2
3.3.5 Nicht linear unabhängige Vektoren
Bislang wurde stets angenommen, dass ( u,u
1 2)
linear unabhängige Vektoren sind. Falls die
Vektoren nicht unabhängig sind, dann ist die Unterdeterminante
x y z
1 1 1
=
2 2 2
gleich Null. Weil die Unterdeterminante mit der
3
D x y z
x y z
3 3 3
x
x
y
1 1
y
2 2
von
z Komponente von u
3
in
Verbindung steht kann z
3
durch 0 ersetzt werden, ohne dass die Determinante verändert wird:
x y z
1 1 1
D=
x y z
2 2 2
x y 0
3 3

22 Darius Wieczorek
3.3.6 Komplexitätsanalyse des Algorithmus
In jeder Wiederholung berechnet der Algorithmus entweder das Vorzeichen von k
3
und endet
mit der Berechnung einer 2x2 Determinante oder er wiederholt sich mit einer 3x3
Determinante, deren größter Eintrag aus der letzten Spalte mindestens halbiert wurde,
während die anderen Einträge unverändert blieben. Daraus folgt, dass die Anzahl an
Wiederholungen höchstens 3b groß ist.
Jede Wiederholung besteht aus den Schritten 3.3.2.1 bis 3.3.2.6 und dem Schritt 3.3.4. Die
Kosten für jeden dieser Schritte werden durch die Anzahl der Berechnungen der Vorzeichen
von 2x2 Determinanten mit (b+1)-Bit Integer Einträgen dominiert. Schritt 3.3.2.1 benötigt
drei solcher Schritte, Schritt 3.3.2.2 einen, Schritt 3.3.2.3 höchstens 2b, Schritt 3.3.2.4
höchstens 2b, Schritt 3.3.2.5 höchstens einen und der Schritt 3.3.4 benötigt höchstens 2
solcher Schritte.
Mit Hilfe des Theorems 1 erhält man das folgende Theorem.
Theorem 2 Sei D eine 3x3 Determinante mit b-Bit Einträgen. Es existiert ein Algorithmus,
der das Vorzeichen von D mit nur (b+1)-Arithmetik berechnet. Der Algorithmus benötigt
höchstens 3b Wiederholungen, wobei jede Wiederholung höchstens 4b+9 Vorzeichen von 2x2
Determinanten mit (b+1)-Bit Einträgen herausfinden muss. Im schlimmsten Fall benötigt der
2
3b 4b+9 elementare Schritte, wobei jeder elementare Schritt O(1)
Algorithmus höchstens ( )
Additionen/Subtraktionen, Vergleiche und Divisionen mit Rest beinhaltet.
Literaturverzeichnis
Avnaim, Boissonnat, Devillers, Preparata, Yvinec, Evaluating signs of determinants using
single-precision arithmetic, Rapport de recherche Nr. 2306, veröffentlicht vom INSTITUT
NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE (INRIA)
im Juli 1994