Das Auswerten von Determinanten - Universität Bonn

20 Darius Wieczorek
Teilschritt 2, aus Schritt 3.3.2.4: Die Modifikation dieses Schrittes ähnelt der
Modifikation des Teilschrittes 2 aus Schritt 3.3.2.3. In diesem Fall wird das Vorzeichen der
u3
- w
h
Determinante berechnet, wobei der Punkt w aus der Geraden K( l
h+
1+
2 )
v
2
herausgesucht werden muss. Wie bereits bekannt ist, befinden sich u3
und0auf
h 1
verschiedenen Seiten von K( 2 +
)
h
h
c( 2 ) undc( 2 ) v 2
und damit muss einer der beiden Punkte
+ mit b-Bits darstellbar sein. Sei w
1
dieser Vektor. Wie ebenfalls bekannt
ist, befinden sich u3
und0 auf derselben Seiten der Geraden K ( h+
1)
der beiden Punkte c( ) u undc( ) v u
l und damit muss einer
lh+ 1
-
3
l
h+
1
+
2
-
3
mit b-Bits darstellbar sein. Sei w2 - u3
dieser Vektor. Das mit (-1) multiplizierte Ergebnis der Summe der beiden Vektoren
- w + w - u = u - w + w wird mit (b+1)-Bits dargestellt und
( 1 ( 2 3)
) 3 ( 1 2)
1 2 h 1
h
( + )
w @ w + w ÎK l + 2
, wie es gefordert wurde.
Teilschritt 3, aus Schritt 3.3.2.3 und 3.3.2.4: Die Einträge der Determinante
u3
aus dem Schritt 3.3.2.3 können mit (b+1)-Bits dargestellt werden, weil
l-1
2c 2 + v
( ) 2
l-1
( ) + entweder ( l
l
c 2 ) oder ( )
2c 2 v 2
Schritt 3.3.2.4.
c 2 + v 2
ist. Dasselbe gilt für die Determinante aus dem
3.3.4 Zweiter Schritt: Exponentielle Reduktion
Der zweite wichtige Schritt des Algorithmus besteht darin, entweder das Vorzeichen von k
3
'
R = R -qU -q U,mit q , q Î - 1,0, + 1 , zu finden, so
herauszufinden oder einen Vektor { }
1 1 2 2 1 2
z3
dass x
R'
,y
R'
b-Bit Integer Zahlen sind und zR'
£ ist. Um dies zu erreichen, wird die Box
2
B in vier Unterboxen aufgeteilt, so dass für jedes r das in jeder dieser Boxen liegt entweder
'
ein Vektor R bestimmt werden kann, oder das Vorzeichen von k
3
leicht erhalten werden
kann.
Die Projektion der Box B auf die Ebene entspricht dem Parallelogramm u1Å
u2. Der
Algorithmus lokalisiert die Projektion r von R in Bezug auf die beiden Diagonalen des
Parallelogramms, die u1 mit u2 und0mit u1+ u
2
verbinden, indem die Vorzeichen von den
Determinanten
r r-u1
und
u + u u -u
1 2 2 1
berechnet werden (siehe Bild 9).
Im Folgenden wird der nächste Schritt nur für eine der vier Subboxen gezeigt, weil die
Behandlung der anderen Boxen analog geschieht. Daher soll O.B.d.A gelten, dass r zu dem
æ u1+
u2
ö
Dreieck ç 0,u, 1 ÷
è 2 ø gehört.