Das Auswerten von Determinanten - Universität Bonn

4 Darius Wieczorek
o Drei Einträge sind negativ:
+ - - -
• , Þ ( + * - ) - ( - * - ) = ( - ) - ( + ) Þ
- - - +
Determinante ist negativ.
Das Vorzeichen der
- - - +
• , Þ ( - * - ) - ( + * - ) = ( + ) - ( - ) Þ
+ - - -
Determinante ist positiv.
Das Vorzeichen der
Wie im Fall mit einem negativen Eintrag, kann auch hier nicht bestimmt
werden wie sich das Vorzeichen der Determinante verändert. Dies ist ebenfalls
nicht nötig, da das Vorzeichen der Determinante auch hier sofort bestimmt
werden kann.
o Alle Einträge sind negativ:
- -
• Þ
- -
( - * - ) - ( - * - ) = ( + ) - ( + ) Þ
nicht.
Das Vorzeichen ändert sich
Es wurde gezeigt, dass man alle Einträge einer 2x2 Determinante positiv machen kann
und sich dabei nur in wenigen Fällen das Vorzeichen der Determinante verändert.
Damit ist die oben genante Voraussetzung erfüllt.
· O.B.d.A soll gelten, dass x2 ³ x1 und y2 ³ y1. Deshalb muss auch hier eine
Fallunterscheidung gemacht werden, inwiefern das Vertauschen von Einträgen einen
Einfluss auf das Vorzeichen der Determinante hat. In den meisten Fällen, kann aber
das Vorzeichen der Determinante sofort herausgefunden werden, so dass die
Auswirkungen der Vertauschungen nicht mehr wichtig sind.
o Falls x2 > x,y
1 2
£ y1 oder x2 ³ x,y
1 2
< y1
Þ xy < xy
1 2 2 1
Þ xy - xy < 0
Þ D<
0
1 2 2 1
o Fallsx2 < x,y
1 2
³ y1 oder x2 £ x,y
1 2
> y1
Þ xy > xy
1 2 2 1
Þ xy - xy > 0
Þ D>
0
1 2 2 1
o In den beiden anderen Fällen:
x ³ x ,y ³ y und
2 1 2 1
x £ x ,y £ y
2 1 2 1