Das Auswerten von Determinanten - UniversitÃ¤t Bonn

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10 Darius Wieczorek Bild 4.1: Vereinigung der Boxen B Bild 4.2: Vereinigung der Boxen B und Ebene H · Falls U 3 sich oberhalb von B befindet ist k 3 positiv, · falls U 3 sich unterhalb von B befindet ist k 3 negativ oder · ansonsten kann U 3 durch einen Vektor aus B ersetzt werden.
Das Auswerten von Determinanten 11 3.2 Der Algorithmus Der Algorithmus benötigt höchstens O(b) Wiederholungen, wobei jede Wiederholung aus drei Schritten besteht. · Vorbereitender Schritt (siehe Unterpunkt 3.3): Hierbei werden einige einfache Fälle sofort gelöst und die Determinante wird für weitere Berechnungen vorbereitet. · Erster Schritt (siehe Unterpunkt 3.4): Der Algorithmus stellt fest, ob U 3 sich oberhalb, unterhalb oder innerhalb von B befindet. In den beiden ersten Fällen wird die 3x3 Determinante auf eine 2x2 Determinante reduziert und von dem zweidimensionalen Algorithmus weiter berechnet. Im dritten Fall wird U 3 in eine Richtung die parallel zu H ist abgebildet, damit gilt R = U3 -kU 1 1-kU 2 2 Î B. Obwohl R innerhalb von B liegt kann man nicht ohne weiteres mit den Vektoren U,U,R weiter rechnen, da die Binärdarstellung von R größer als (b+1)-Bits sein ( ) 1 2 kann. Außerdem erfüllt z R nur die Bedingung 0£ zR £ z1+ z2 nicht aber, dass z < z ist. R 3 · Zweiter Schritt (siehe Unterpunkt 3.6): In diesem Schritt findet der Algorithmus ' entweder das Vorzeichen von k 3 oder einen Vektor R = R+q 1U1+q 2U2 mit ( q1, q2Î- { 1,0, + 1}) . Die Kodierlänge der x und y Komponenten ist dabei nicht z länger als b und die z Komponente ist kleiner als 3 2 . Nach höchstens drei Wiederholungen ist eine Halbierung der größten z-Komponente erreicht. Daraus folgt, dass man insgesamt höchstens 3b Wiederholungen benötigt, um herauszufinden, dass D=0 ist, oder um eine 2x2 Determinante zu erhalten. 3.3.1 Vorbereitender Schritt Als erstes werden die Zeilen mit negativen z-Einträgen mit (-1) multipliziert. Falls die Anzahl der negativen z-Einträge ungerade ist ändert sich das Vorzeichen. Als nächstes werden die Zeilen so vertauscht, dass U 3 die größte z-Komponente besitzt. Hierbei gilt ebenfalls: falls die Anzahl der Vertauschungen ungerade ist ändert sich das Vorzeichen von D. Falls nach den Umformungen der Determinante alle drei Unterdeterminanten x1 y1 x2 y2 x3 y3 , und x y x y x y 2 2 3 3 1 1 positiv (negativ) sind, dann ist auch D positiv (negativ). 3.3.2 Der erste Schritt In jeder Wiederholung wird als erstes entweder das Vorzeichen von k 3 bestimmt, oder falls U 3 in B liegt, wird der Vektor R = U3-kU 1 1- kU 2 2 bestimmt.
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