Das Auswerten von Determinanten - Universität Bonn

6 Darius Wieczorek
vorherigen Determinante. Dieser Vorgang wird so lange wiederholt, bis das Vorzeichen
berechnet ist.
Zusammenfassend:
In jeder Wiederholung werden nur Vergleiche bzw. Divisionen mit Rest gemacht. Die Anzahl
der Wiederholungen ist nach oben hin beschränkt durch den Logarithmus des größten
Eintrags der Determinante, d.h. durch die Anzahl b der Bits, die man benötigt um den größten
Wert der Determinante darzustellen. Hieraus ergibt sich das folgende Theorem:
Theorem 1:
Sei D eine 2x2 Determinante mit b-Bit Integer Einträgen. Dann existiert ein Algorithmus, der
das Vorzeichen von D mit nur b-Bit Arithmetik berechnet. Der Algorithmus erfordert
höchstens b-Wiederholungen. Jede Wiederholung bringt O(1) Additionen / Subtraktionen,
Vergleiche und Divisionen mit Rest mit sich.
3 Der dreidimensionale Fall
3.1 Einleitung
Sei
x y z
1 1 1
D= x y z eine 3x3 Determinante, deren Einträge b-Bit Integer Zahlen sind.
2 2 2
x y z
3 3 3
Der Vektor (x
i,y,z) i i
wird mit U
i
bezeichnet und die Einheitsvektoren entlang der drei
Achsen werden mit E,E
x y
und E
z
bezeichnet. Die z-Richtung wird Vertikale genannt und u
bezeichnet die vertikale Projektion des Vektors U auf die Horizontalebene mit z = 0.
O.B.d.A soll gelten, dass alle z
i
nicht negativ sind und dass z3 > z,z
1 2
ist.
· Damit ein negatives z
i
positiv wird, muss die i-te Zeile der Determinante mit (-1)
multipliziert werden. Dies hat zur Folge, dass sich das Vorzeichen der Determinante
verändert.
· Damit z
3
größer wird als z1 und z
2
muss man gegebenenfalls eine Zeilenvertauschung
vornehmen. Diese hat ebenfalls zur Folge, dass sich das Vorzeichen
der Determinante verändert.
· Falls die Summe aus der Anzahl der negativen z
i
Einträge und der Anzahl
benötigter Zeilenvertauschungen ungerade ist, verändert sich das Vorzeichen der
Determinante, andernfalls nicht.
Hier und in den Abschnitten 3.1-3.3.4 wird angenommen, dass die Projektionen u,u
1 2
von
U,U
1 2
nicht colineare Vektoren sind (z.B. die Vektoren sind linear unabhängig). Daraus geht
hervor, dass die drei Vektoren U,U
1 2
und E
z
linear unabhängig sind, und man kann U
3
ersetzen durch