Das Auswerten von Determinanten - Universität Bonn

12 Darius Wieczorek
Weil der Vektor U
3
b-Bit Integer Komponenten enthält, sind die Koordinaten der Punkte aus
b
dem Liniensegment 0U3 und0u
3
stets kleiner als 2 . Um R auszurechnen wird eine
Teilmenge von O(b) Kanten, die von 0u3
geschnitten werden, aus dem Gitter L überprüft. Für
jede dieser Kanten wird die entsprechende Kante aus dem Gitter L
H
betrachtet. Falls die z-
Koordinate aller betrachteten Kanten innerhalb der Grenzen der (b+1)-Arithmetik bleibt, dann
endet die Prozedur sobald die Zelle, die u
3
beinhaltet, gefunden wird. Falls aber eine der
betrachteten Kanten aus L
H
zu einer Box gehört deren z-Bereich die (b+1)-Bit Darstellung
vollkommen übersteigt, dann erstreckt sich der z-Bereich dieser Kante vollkommen außerhalb
der Grenzen der b-Bit Darstellung. In diesem Fall kann das Vorzeichen von k
3
leicht
bestimmt werden und die Berechnung von R wird angehalten.
3.3.2.1 Standardisieren der Basis
Die Grenze des Parallelogramms, das sich aus den vier Zellen C,C
0 0
-u,C 1 0
- u,
2
C0 -( u1+ u2)
zusammensetzt (mit C0 = u1Å u2), besteht aus acht Zell-Kanten (in den
folgenden Zeichnungen werden die Kanten mit *1 bis *8 bezeichnet. Siehe Bild 5.1 und 5.2):
Bild 5.1: Zellen C,C -u,C -u,C -( u + u )
0 0 1 0 2 0 1 2
Sei L eine Halbgerade, die in 0 ihren Ursprung hat und u3
enthält. Um herauszufinden von
welcher der acht Kanten L geschnitten wird, wird eine gradlinige dreistufige binäre Suche
ausgeführt („straightforward tree-step binary search“). Die Suche sieht wie folgt aus:
· Es werden die Vorzeichen von vier 2x2 Determinanten ausgerechnet, wobei die
Determinanten die Form
u 3
w mit w { u,u,u }
1 2 1
u,u
2 1
u2
Î + - haben.
· Anhand der Vorzeichen der Determinanten lässt sich die Kante eindeutig bestimmen
von der L geschnitten wird.
o Beispiel: Falls alle vier Determinanten negativ sind und u,u
1 2
stets positive
Einträge haben, dann kann L nur die Kante *8 schneiden (siehe Bild 5.2).