Das Auswerten von Determinanten - Universität Bonn

22 Darius Wieczorek
3.3.6 Komplexitätsanalyse des Algorithmus
In jeder Wiederholung berechnet der Algorithmus entweder das Vorzeichen von k
3
und endet
mit der Berechnung einer 2x2 Determinante oder er wiederholt sich mit einer 3x3
Determinante, deren größter Eintrag aus der letzten Spalte mindestens halbiert wurde,
während die anderen Einträge unverändert blieben. Daraus folgt, dass die Anzahl an
Wiederholungen höchstens 3b groß ist.
Jede Wiederholung besteht aus den Schritten 3.3.2.1 bis 3.3.2.6 und dem Schritt 3.3.4. Die
Kosten für jeden dieser Schritte werden durch die Anzahl der Berechnungen der Vorzeichen
von 2x2 Determinanten mit (b+1)-Bit Integer Einträgen dominiert. Schritt 3.3.2.1 benötigt
drei solcher Schritte, Schritt 3.3.2.2 einen, Schritt 3.3.2.3 höchstens 2b, Schritt 3.3.2.4
höchstens 2b, Schritt 3.3.2.5 höchstens einen und der Schritt 3.3.4 benötigt höchstens 2
solcher Schritte.
Mit Hilfe des Theorems 1 erhält man das folgende Theorem.
Theorem 2 Sei D eine 3x3 Determinante mit b-Bit Einträgen. Es existiert ein Algorithmus,
der das Vorzeichen von D mit nur (b+1)-Arithmetik berechnet. Der Algorithmus benötigt
höchstens 3b Wiederholungen, wobei jede Wiederholung höchstens 4b+9 Vorzeichen von 2x2
Determinanten mit (b+1)-Bit Einträgen herausfinden muss. Im schlimmsten Fall benötigt der
2
3b 4b+9 elementare Schritte, wobei jeder elementare Schritt O(1)
Algorithmus höchstens ( )
Additionen/Subtraktionen, Vergleiche und Divisionen mit Rest beinhaltet.
Literaturverzeichnis
Avnaim, Boissonnat, Devillers, Preparata, Yvinec, Evaluating signs of determinants using
single-precision arithmetic, Rapport de recherche Nr. 2306, veröffentlicht vom INSTITUT
NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE (INRIA)
im Juli 1994