Pfade in Dreiecks- und Sechseckgittern - Universität Bonn

Definition 11fully cycle extendableSei G=(V, E) ein Graph und C ein Kreis in G. Wir nennen C erweiterbar(extendable), wenn es einen Kreis C ′ in G gibt, so dass V (C) ⊂ V (C ′ ) gilt,und C ′ genau einen Knoten mehr als C besitzt, also |V (C ′ )|=|V (C)| + 1.G heißt cycle extendable, wenn jeder nicht-hamiltonische Kreis C in Gerweiterbar ist.G heißt schließlich fully cycle extendable, wenn G cycle extedable ist,und jeder Knoten von G auf einem Dreieck in G liegt.Man sieht aus obiger Definition leicht, dass ein Graph, der fully cycleextendable ist, auch einen Hamiltonkreis besitzt, denn wählt man einen beliebigenKnoten aus G aus, so liegt dieser per Definition auf einem Dreieck,was einem Kreis über drei Knoten entspricht. Folglich gibt es einen Kreis inG, und dieser ist per Definition erweiterbar zu einem Kreis über 4 Knoten,welcher wiederum erweiterbar sein muss. Setzt man dies induktiv fort, gelangtman schließlich zu einem Kreis, der alle Knoten von G enthält, alsoeinem Hamiltonkreis in G entspricht.In [1] zeigen Gordon, Orlovich und Werner, dass ein zusammenhängenderund lokal zusammenhängender Dreiecksgittergraph entweder fully cycle extendableist (also auch einen Hamiltonkreis besitzt) oder isomorph zum’Davidsterngraph’ D ist, welcher in Abbildung 20 zu sehen ist. Reay undZamfirescu zeigen in [7], dass D der einzige zusammenhängende, lokal zusammenhängendeDreiecksgittergraph ist, welcher keinen Hamiltonkreis besitzt.Abbildung 20: Der ’Davidsterngraph’ D (Quelle: [1])Das Resultat von Gordon, Orlovich und Werner [1] besagt also, dass dasEntscheidungsproblem, ob ein gegebener Dreiecksgittergraph G, der lokalzusammenhängend ist, einen Hamiltonkreis besitzt, in polynomieller Zeitgelöst werden kann. Hierzu genügt es nämlich zu überprüfen, ob G zusammenhängendist. Wenn nein, kann G trivialerweise keinen Hamiltonkreisenthalten. Falls G jedoch zusammenhängend ist, kann man in polynomiellerZeit prüfen, ob G isomoprh zu D ist. Wenn ja, so enthält G keinen Hamiltonkreis,wenn nein, so gibt es definitiv einen solchen (da G in diesem Fallfully cycle extendable sein mus).17