Pfade in Dreiecks- und Sechseckgittern - Universität Bonn

Abbildung 17: Traversierung eines 7-Clusters mit weißem zentralen KnotenDie 7-Cluster mit schwarzem zentralen Knoten besuchen wir folgendermaßen(vergleiche Abbildung 18): Bezeichne die drei angrenzenden Tentakelanalog wie eben mit T r , T 1 und T 2 . Dann gibt es eindeutig bestimmte Knotenauf T 1 und T 2 , welche unmittelbar nach beziehungsweise vor den bereitserwähnten ’Brückenkanten’ liegen und zu den Tentakeln, aber nicht zumCluster gehören. Bezeichne diese entsprechend mit b 1 und b 2 . Nun besuchenwir das Cluster, indem wir einen von mehreren möglichen Pfaden von b 1nach b 2 über alle Knoten des Clusters wählen. Das Tentakel T r benötigenwir an dieser Stelle nicht, da es von einem anderen Cluster mit weißemzentralen Knoten aus mittels eines Rückkehrpfades abgedeckt wird.Abbildung 18: Traversierung eines 7-Clusters mit schwarzem zentralen KnotenAuf diese Weise erhalten wir schließlich einen Hamiltonkreis C G .”⇐=”: Sei nun ein Hamiltonkreis C G in G gegeben. Wie wir gesehen haben,gibt es in G nur zwei Arten von Hamiltonpfaden für jedes Tentakel, undjedes Tentakel wird entweder durch einen Rückkehrpfad oder einen Zickzackpfadabgedeckt. Ganz analog zur Argumentation der zuvor gezeigtenBeweisrichtung wählen wir in B diejenigen Kanten aus, deren korrespondierendeTentakel in C G durch Zickzackpfade besucht werden.Die Menge der so gewählten Kanten bildet einen Hamiltonkreis in B,15