Fuzzy Implikationen - Lab4Inf

Fuzzy Logic & Control 

Warum einfach, wenn es auch schwer geht? 

Prof. Dr.-Ing. Doris Danziger 

Prof. Dr. rer. nat. Nikolaus Wulff

Fuzzy Prädikatenlogik 

• Die Prädikatenlogik erweitert die Aussagenlogik 

mit den Junktoren ∧,∨ und ¬ um den Existenzquantor 

∃ und den „Für Alle“-Quantor ∀. 

• Dies gestattet Aussagen der Form „es gibt ein x mit 

der Eigenschaft P(x)“ oder „für alle x gilt P(x)“. 

• Wahrheitswerte τ (truth values) von Aussagen die 

Quantoren enthalten lassen sich üblicherweise 

bestimmen als: 

∀ x: P x = inf 

x∈ 

{ P x} 

Prof. Dr. D. Danziger und Prof. Dr. N. Wulff 

∃ x : P x = sup 

x∈ 


{ P x} 

2

Fuzzy Relationen 

• Es seien Ω und Ψ zwei Mengen. Das Kreuzprodukt 

ΩΨ ist die Menge aller geordneten Tupel (x,y) mit 

x ∈ Ω und y ∈ Ψ . Eine fuzzy Relation R(x,y) ist 

eine Teilmenge R ⊆ ΩΨ mit Werten in [0,1], 

welche die Beziehung zwischen x und y beschreibt. 

– Für diskrete Mengen lässt sich R als fuzzy Matrix 

schreiben. 

• Relationen lassen sich verketten. Sei Ξ eine weitere 

Menge und U(y,z) eine Relation auf ΨΞ dann gilt 

für die Relation V = R°U mit V(x,z) ⊆ ΩΞ: 

V x , z = sup 

y∈ 

Rx , y∧U y , z 



3

Bemerkungen: Fuzzy Relationen 

• Bei diskreten Mengen kann die Verkettung durch 

die Matrizenmultiplikation abgebildet werden. 

– Die Elemente a jk 

sind Wahrheitswerte. Die Multiplikation 

wird per AND- und die Addition per OR- 

Verknüpfung berechnet. Meistens max-min... 

• Der Fuzzy Vergleich ist ein Beispiel für eine 

Equivalenzrelation ≃ R(Ω,Ω). Ähnliche Relationen 

sind

Fuzzy Vergleich als Relation 

• Wie groß ist der Wahrheitsgehalt der Aussage A ist 

(ungefähr) gleich B, d.h. τ(A≃B)? 

• Nach dem Zadehschen Erweiterungsprinzip ist dies 

gleich dem Wert der maximalen Übereinstimmung 

von A und B. 

A≃B = sup 

x∈ 

A x∧B x 

• Der Wahrheitsgehalt von W(A≃B) ist bei dem 

Wert x 0 

mit der größtmöglichen Übereinstimmung 

von A und B gegeben, z. B mit dem Min-Operator 

bei dem größten Wert für den A(x 0 

)=B(x 0 

) gilt. 



5

Fuzzy Logik 

• Ein Objekt x gehört nicht nur eindeutig zu einer 

Menge A, sondern kann auch zugleich zu deren 

Komplement gehören, falls 

• 

• 

• Dies bedeutet in der Fuzzy-Logik gilt kein Satz vom 

Widerspruch (dies hängt von der T-Norm ab!): 

• 

• 

A x ∉ {0,1} 

∃ x∈: ¬A x∧ A x ≠0 

• Auch der Satz vom ausgeschlossenem Dritten ist nicht 

mehr uneingeschränkt gültig: 

∃ x∈: ¬A x∨ A x ≠1 



6

Unscharfe Logik 

 

Klassische Logik 

 

Fuzzy Logik 

1.0 

1.0 

f 

w 

0.5 

falsch 

wahr 

falsch 

„jein“ 

wahr 

• Klassische Logik kennt nur die Werte 0 oder 1. 

• Fuzzy Logik definiert Wahrheitsgehalt als Menge mit 

einer Zugehörigkeit μ w 

(x) ∈[0,1] mit μ f 

= ¬μ w 

= 1 - μ w 

• Epimenides: μ w 

= μ f 

1 - μ w 

μ w 

= 0.5 



7

Vergleich Fuzzy Logik & Control 

• Wodrin liegt der wesentliche Unterschied zwischen 

logischen Aussagen und Fuzzy Reglern? 

• Regler arbeiten meist auf einer Strecke mit scharfen 

Eingängen und Rückführung der defuzzifizieren 

Ausgangs. 

• Fuzzy Logik benötigt Algorithmen, die mit Fuzzy 

Mengen Mehrfachverkettungen ermöglichen, ohne 

sofortiger Defuzzifizierung und Rückführung. 

• Logik System müssen daher mit unscharfen Fuzzy 

Mengen und nicht nur auf scharfen Eingangswerten 

operieren können! 



8

Kühlung mit „scharfer Regelung“ 

Das Beispiel einer Kühlung soll den Vorteil von Fuzzy 

Regeln erläutern. 

• Häufig sind scharfe Regeln unangemessen: 

R 1 

if (temp

Scharfe Laptop Kühlung 

Fan current 

150 mA 

very 

high 

100 mA 

high 

50 mA 

low 

AC/DC 

0 mA 

off 

30 60 90 120 T /°C 

• 59°C „low“ jedoch 61°C „high“ unstetig. 

• Kühlung wird bei 60°mit „low-high“ oszillieren. 



10

Regeln mit linguistischen Variablen 

• Die Regeln werden „unscharf“ formuliert: 

R 1 

if „very cold“ then „fan off“ 

R 2 

if „cold“ then „fan low“ 

R 3 

if „warm or hot“ then „fan high“ 

R 4 

if „hot“ then „fan very high“ 

• „off“, „low“, „high“ etc. bezeichnen linguistische 

Variablen, die durch Fuzzy Mengen beschrieben 

werden. 



11

Linguistische Variablen 

( T) 

1.0 

cold 

warm 

hot 

very hot 

0.5 

off 

Zuordnung der Temperatur 

zu den Fuzzy Mengen... 

30 60 90 120 T /°C 

Fuzzyfizierung 

• 59°C 

• 61°C 



12

Fuzzy Fan Status 

(I) 

1.0 

off 

low 

high 

very high 

0.5 

Dieselben „sprunghaften Regeln“ 

erlauben unscharf formuliert eine 

stetige Regelung! 

off 

50 100 150 200 Fan current I/mA 

Defuzzifizierung 

• 59°C low high = 98 mA 

• 61°Chigh very =102 mA 



13

Truth Value 

• Der Wahrheitswert τ(A) wird in der Fuzzy Logik 

mit dem Grad an Zugehörigkeit τ(A)(x) = μ A 

(x) zur 

Fuzzy Menge A identifiziert. Kleinbuchstaben 

stehen häufig für den jeweiligen Wahrheitswert. 

• In einer Regel „if x ∈ P then y ∈ Q“, wird der 

Implikationsoperator I(p, q) nur aus den Wahrheitswerten 

p und q der Prämisse und Implikation für 

eine gewählte Belegung (x,y) berechnet: 

P Q = I p , q 

p:= P x 

q :=Q y 



14

Fuzzy Implikation 

• Die Übersetzung der klassischen Implikation in 

eine Fuzzy Logik ist nicht eineindeutig. Es gibt 

mehrere Vorschläge für die Implikation P → Q: 

P Q ⇔ ¬P∨Q ⇔ ¬P∨ P∧Q 

P Q = max 1− p ,q 

P Q = max 1− p ,min p , q 

„klassisch wahr“ 

P Q P→Q 

0 0 1 

0 1 1 

1 0 0 

1 1 1 

• Obige Formeln, sind abgeleitet mit Min-Max als t- 

und s-Norm, auch dies ist frei wählbar! Allgemein 

wird P → Q mit einer Funktion I(p,q) berechnet. 



15

Implikationsoperatoren 

• Bereits bei der klassischen Implikation, gibt es 

verschiedene Definitionen, entsprechend existieren 

unterschiedliche Varianten des fuzzifizierten 

Implikationsoperators, z.B. Gödel, Łukasiewicz. 

P Q = min1,1− pq 

• Für den Schluss P∧(P → Q), mit approximativer 

Prämisse P≃P , soll als Konklusion Q≃Q erfolgen: 

Q = P∧ P Q 

• Mamdani ersetzt (P → Q) durch min(P,Q) und 

• Larsen wählt das Produkt (P → Q) = P*Q. 

• Beide sind für P=0 falsch(!) da klassisch I(0,Q)=1. 



16

Mamdani Approximation 

• Die Rechtfertigung für die Vereinfachung nach 

Mamdani/Larsen lautet, in einem Expertensystem 

wird eine Regel mit τ(P)=0 nicht feuern und der 

„falsche Implikationsoperator“ trägt nichts zum 

Ergebniss bei... 

• Hierdurch „vereinfacht“ sich der Ausdruck für die 

Implikation 

Q = P∧ P Q 

auf Grund der Assoziativität von ∧ zu: 

Q ≈ P∧P 

∧Q = q∧Q 

=: q 



17

Der generalisierte Modus Ponens 

• Die klassische Implikation Q = P∧ P Q 

fuzzyfizierter Version lautet: 

– 

Q – 

y = sup 

– x∈ 

• Im Fall der vereinfachten Mamdani Implikation mit 

MinMax Norm ergibt dies: 

Q y = sup 

x∈ 

Q y = minp ,Q y 

p = sup 

x∈ 

T P x , I P x ,Q y 

minP x , P x 

in 

minP x , minP x ,Q y 

D.h. der Träger 

von Q bleibt erhalten! 



18

Übung 

Berechnen Sie das Ausgabe Fuzzy Set B zur Regel 

if A then B, wenn das Eingabedatum Ax=Axc 

gegen A, um eine Konstante c verschoben ist, für 

die Fälle: 

• Mamdani Implikation mit I(x,y)=T(x,y)= min(x,y). 

• Wie lautet der Algorithmus falls der Wenn-Teil aus 

einer Konjunktion if A 1 

∧ A 2 

then B besteht? 

• Larsen Implikation mit I(x,y)=T(x,y)=x*y. 

– Tip: Wählen Sie für A(x) eine Dreiecksfunktion. 

– Machen Sie gegebenenfalls Fallunterscheidungen für 

Kern/Träger in Abhängigkeit von c. 



19

Fuzzy Inferenz 

• Für eine gegebene Fuzzy Regel 

R: if x is A then y is B 

• mit Fuzzy Mengen A und B, und einer Eingabe A x 

lautet der verallgemeinerte fuzzy modus ponens 

B = A° A B 

• Die Ausgabe wird berechnet mit Hilfe einer T-Norm 

und dem Implikationsoperator p q=: I p ,q 

B y = sup 

x∈ 

T Ax , I A x , B y 



20

Fuzzy Regelbasis 

Eine fuzzy Regelbasis mit n Regeln 

R j 

: A j 

B j 

j=1,,n 

wird bestimmt als System von Relationsgleichungen 

B j =A j ° R 

j=1,,n 

und die Lösung ist gegeben, wenn die Konjunktion 

n 

C= ∩ 

j=1 

A j 

Gö 

B j 

 

nicht leer und eine Lösung für jede Regel R j 

ist. 



21

Fuzzy Approximations 

• Zu gegebener (fuzzy) Eingabe 

A 

lautet die Lösung 

n 

A j Gö B j 

B = A° ∩ j=1 

• Ein Expertensystem führt die Regeln unabhängig aus 

und eine approximative Obermenge der Lösung ist: 

n 

B = ∩ 

j=1 

A° A j B j 

⊇ B 

• Fuzzy Control erweitert(!) meistens die Lösungsmenge 

durch eine disjunktive Verknüpfung: 

n 

C = ∪ 

j=1 

A° A j XY B j ⊇ B Zadeh's compositional 

rule of inference 



22

Offene Fragen 

• Die OR Aggregation der Ergebnisse hat sich in 

zahlreichen Anwendungen der Fuzzy Control 

bewährt, meistens mit Mamdani Inferenz... 

• Die Wahl AND oder OR Aggregation zu verwenden 

hängt vom Anwendungsfall ab: Sind die Regeln 

unabhängige Aussagen oder sind sie streng 

gekoppelt? Letzteres ist vermutlich der Fall für 

Anwendungen von Fuzzy Logic, wo die AND 

Aggregation erforderlich ist. 

• 

• Zur Illustration dient das fuzzy computer experiment 

der Lab4Jefis Site... 



23

Fuzzy Experiment 

• Wir wollen y = 1 – x mit Fuzzy Logik regelbasiert 

berechnen. Hierzu nehmen wir eine Fuzzy Partition 

mit drei Mengen und der Regelbasis: 

Rule Base for y = 1 – x 

R 1 

: if x is „low“ than y is „high“ 

R 2 

: if x is „med“ than y is „med“ 

R 3 

: if x is „high“ than y is „low“ 



24

Fuzzy Partition 

• Eine natural fuzzy partition ist eine Menge von n 

eindeutig überlappenden Mengen A j 

, mit: 

0 ≡ A j ∩ A k x ∀ x∈ ,∣ j−k∣1 

n 

1 ≡ ∑ A j x ∀ x∈ 

j=1 

• In unserem Beispiel ist n=3 und die Regeln erfüllen 

R k 

: if x is A k 

then y is A n-k+1 

– Korrelar: Mindestens n-2 Regeln haben kein Match egal 

welchen Wert x annimmt. 



25

Mamdani sup-Min ∪ - Inference 

input 

value 

I(p,q)=min(p,q) 

OR-aggregation: 

output 

sets 

Die Ausgabe passt 

gut zu y =1- x 

final result 

with COG 



26

Larsen sup-Prod ∪- Inference 

I(p,q)= p·q 


Auch die sup-* 

Interferenz 

funktioniert... 



27

Łukasiewicz ∪ - Inference 

min(1,1-p+q) 


Falls eine Regel 

keinen Match hat, 

so wird die bei 

Fuzzy Logik die 

universelle Menge 

geschlussfolgert. 



28

Łukasiewicz ∪ - Inference 

min(1,1-p+q) 


Auch das Aus- 

Schließen nicht 

erfüllter Regeln 

in einer RE 

hilft nicht... 



29

Was ist passiert...? 

• Die Mamdani Min-/Larsen Produkt Implikationen 

sind keine „richtigen Inferenz“ Operatoren, da sie 

beide eine (falsche) Implikation liefern: 

I(0,q) = 0 falls die Premise p Null ist. 

• Genau deshalb sind sie geeignet für die OR Aggregation, 

da sich eine nicht feuernde Regel nicht 

bemerkbar macht. 

• Implikationsoperatoren mit I(0,q)=1 werden im Fall 

einer OR-Aggregation überall eine „1“ liefern. 

• Daher ist AND-Aggregation für diese Operatoren 

die einzig mögliche Wahl... 



30

Łukasiewicz ∩ - Inference 

min(1,1-p+q) 

AND-aggregation: 

Für „logische 

Implikation“ 

ist ∩ Aggregation 

die richtige Wahl. 



31

Gougen ∩ - Inference 

min(1,q/p) 


Die Form der 

Lösungsmenge 

ändert sich je 

nach dem ge- 

Wählten I(p,q)... 



32

Gödel ∩ - Inference 

={ 

I 1 

q 

p≤q 

else 


Gödel bietet die 

kleinste Lösungsmenge 



33

Vorläufiges Resultat 

Obgleich dies keine mathematisch schwierige und aussagekräftige 

Demonstration ist, stellt sich die Frage 

• Wie sind regelbasierte Systeme, die logische 

Entscheidungen treffen, zu entwerfen? 

– Für eine OR-Aggregation von Regeln sind nur die 

Mamdani- und Larsen Implikationen brauchbar. 

– AND-Aggregation funktioniert am Besten mit I(0,q)=1 

Operatoren, selbst wenn Rule-Engines für p=0 nicht 

feuern. 

• Gibt es noch weitere Möglichkeiten der Inferenz? 

• Die Antwort ist: Ja, aber dies ist abhängig vom 

gewählten Wahrheitsbegriff! 



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