Gitter und Kryptographie - Goethe-Universität

2.2. PACKUNGSDICHTE, HERMITE-KONSTANTE, KRITISCHE GITTER 19
Dirichlet bewies Satz 2.1.4 inkonstruktiv mit dem Schubfachprinzip.
Satz 2.1.5
Sei L Gitter der Dimension n und ¯b 1 , ..., ¯b n ∈ L linear unabhängig mit ||¯b i || = λ i für i = 1, ..., n.
Dann gibt es eine Basis b 1 , ..., b n von L so dass für i = 1, ..., n
1. L(b 1 , ..., b i ) = span(¯b 1 , ..., ¯b i ) ∩ L,
(
2. bi = ¯b i oder ||π i (b i )|| ≤ 1 2 λ )
i und ||bi || 2 ≤ max(1, i 4 )λ2 i .
Damit hat jedes Gitter L eine Basis b 1 , ..., b n so dass ||b i || ≤ λ i
√
i/4 für i = 4, .., n. Insbesondere
gilt ||b i || = λ i für i = 1, .., 4 und die Schranke ||b i || ≤ λ i
√
i/4 ist scharf für i > 4.
Beweis durch Induktion nach n. Die Induktionsannahme für n − 1 sei für b 1 , ..., b n−1 ∈ L erfüllt.
Wir konstruieren b n . Im Fall
L ∩ P(b 1 , ..., b n−1 , ¯b n ) = {0}
gilt L(b 1 , ..., b n−1 , ¯b n ) = L und damit gilt die Induktionsbehauptung für b n := ¯b n . Andernfalls
wählt man für b n eine Minimalstelle von
||π n (b)|| ≠ 0 für b ∈ L ∩ P(b 1 , ..., b n−1 , ¯b n ).
Diese Wahl von b n minimiert vol P(b 1 , ..., b n−1 , b n ) sowie det L(b 1 , ..., b n ). Somit sichert sie dass
L(b 1 , ..., b n ) = L, denn für echte Untergitter ¯L ⊂ L gilt det ¯L > det L.
Weil ||π n (b n )|| minimal ist mit ||π n (b n )|| ≠ 0 folgt
||π n (b n )|| ≤ 1 2 ||¯b n || = 1 2 λ n.
Schliesslich reduzieren wir b n mod ¯b i für i = n − 1, ...., 1 so dass ||¯π i (b n )|| ≤ 1 2 ||¯b i || für die
orthogonale Projektion ¯π i : span(¯b 1 , ..., ¯b i ) → span(¯b 1 , ..., ¯b i−1 ) ⊥ . Im Fall b i = ¯b i sichert dies
¯π i+1 (b n ) = π i (¯b n ). Es folgt
||b n || 2 ≤ ∑ n
i=1 ||¯π i(b n ) − ¯π i+1 (b n )|| 2 ≤ 1 4
∑ n
i=1 ||¯b i || 2 = 1 4
∑ n
i=1 λ2 i ≤ n 4 λ2 n.
Dabei ist ¯π i (b n ) − ¯π i+1 (b n ) der Orthogonalanteil von b n in span(¯b 1 , ..., ¯b i ) ∩ span(¯b 1 , ..., ¯b i−1 ) ⊥ .
Im Fall b i = ¯b i ist dieser Anteil 0. Diese Anteile sind für alle i paarweise orthogonal. □
2.2 Packungsdichte, Hermite-Konstante, kritische Gitter
Gitterartige Kugelpackung. Die gitterartige Kugelpackung ⋃ b∈L B n(b, λ 1 /2) zum Gitter L
besteht aus allen Kugeln B n (b, λ 1 /2) mit Radius λ 1 /2 und Mittelpunkten b ∈ L.
Dichte des Gitters. Die (Packungs-)Dichte △(L) des Gitters L ist der Volumenanteil der
Kugelpackung ⋃ b∈L B n(b, λ 1 /2) von span(L) und △ n das Supremum für alle L mit dim L = n:
△(L) = def λ n 1 2 −n V n / det L,
△ n = def sup{△(L) | dim L = n}.
△(L) ist invariant gegen Äquivalenz, bleibt also bei Isometrie und Skalierung von L erhalten. Für
konstante n und det(L) ist die Dichte genau dann maximal, wenn λ 1 maximal ist.
Der analoge Kode zum Gitter L. Nachrichten werden in Gittervektoren b ∈ L kodiert. Die
Kodeworte b ∈ L werden mit reellen Fehlervektoren e ∈ span(L) übertragen. Ein gestörtes
Kodewort b + e ist genau dann eindeutig dekodierbar, wenn ‖e‖ < λ 1 /2. Dann ist b nämlich
nächster Gittervektor zu b + e. Mit der Dichte △(L) von L wächst also das Korrekturpotential
des analogen Kodes.