Gitter und Kryptographie - Goethe-Universität

Inhaltsverzeichnis
1 Gitter in linearen Räumen 5
1.1 Die Geometrie der Gitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Dualität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Diskretheit, Primitive Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Elementare Reduktionsverfahren zur l 2 -Norm || || . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5 Hermite Normalform, Untergitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 Sukzessive Minima und Minkowski-Sätze 17
2.1 Sukzessive Minima und erster Satz von Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Packungsdichte, Hermite-Konstante, kritische Gitter . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3 Zweiter Satz von Minkowski. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3 Gauß-Reduktion 25
3.1 Reduzierte Basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2 Reduktionsverfahren für die Euklidische Norm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4 LLL-reduzierte Gitterbasen 31
4.1 Definition und Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.2 Das LLL-Reduktionsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.3 LLL-Reduktion ganzzahliger Erzeugendensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.4 LLL-Reduktion mit Gleitkomma-Arithmetik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.5 LLL-Reduktion mit ganzzahliger Gram-Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.6 LLL-Basen mit großem Approximationsfaktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5 Lösen von Subsetsum-Problemen durch kurze Gittervektoren 43
5.1 Das Subsetsum-Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.2 Die Lagarias-Odlyzko-Gitterbasis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.3 Das CJLOSS-Gitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.4 Gitter mit großer Packungsdichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
6 HKZ- und Block-Reduktion von Gitterbasen 49
6.1 HKZ-Basen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
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